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Purely unrectifiable metric spaces and perturbations of Lipschitz functions
Acta Mathematica ( IF 3.7 ) Pub Date : 2020-01-01 , DOI: 10.4310/acta.2020.v224.n1.a1 David Bate 1
Acta Mathematica ( IF 3.7 ) Pub Date : 2020-01-01 , DOI: 10.4310/acta.2020.v224.n1.a1 David Bate 1
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We characterise purely $n$-unrectifiable subsets $S$ of a complete metric space $X$ with finite Hausdorff $n$-measure by studying arbitrarily small perturbations of elements of the set of all bounded 1-Lipschitz functions $f\colon X \to \mathbb R^m$ with respect to the supremum norm. In one such characterisation it is shown that, if $S$ has positive lower density almost everywhere, then the set of all $f$ with $\mathcal H^n(f(S))=0$ is residual. Conversely, if $E\subset X$ is $n$-rectifiable with $\mathcal H^n(E)>0$, the set of all $f$ with $\mathcal H^n(f(E))>0$ is residual. These results provide a replacement for the Besicovitch-Federer projection theorem in arbitrary metric spaces, which is known to be false outside of Euclidean spaces.
中文翻译:
Lipschitz 函数的纯不可修正度量空间和扰动
我们通过研究所有有界 1-Lipschitz 函数集合的元素的任意小扰动来表征具有有限 Hausdorff $n$-measure 的完整度量空间 $X$ 的纯 $n$-不可校正子集 $S$ \to \mathbb R^m$ 关于最高范数。在一个这样的表征中表明,如果 $S$ 几乎在所有地方都具有正的较低密度,那么所有 $f$ 且 $\mathcal H^n(f(S))=0$ 的集合是残差。相反,如果 $E\subset X$ 是 $n$-rectifiable with $\mathcal H^n(E)>0$,则所有 $f$ 的集合与 $\mathcal H^n(f(E))> 0$ 是残差。这些结果替代了任意度量空间中的 Besicovitch-Federer 投影定理,该定理在欧几里得空间之外是错误的。
更新日期:2020-01-01
中文翻译:
Lipschitz 函数的纯不可修正度量空间和扰动
我们通过研究所有有界 1-Lipschitz 函数集合的元素的任意小扰动来表征具有有限 Hausdorff $n$-measure 的完整度量空间 $X$ 的纯 $n$-不可校正子集 $S$ \to \mathbb R^m$ 关于最高范数。在一个这样的表征中表明,如果 $S$ 几乎在所有地方都具有正的较低密度,那么所有 $f$ 且 $\mathcal H^n(f(S))=0$ 的集合是残差。相反,如果 $E\subset X$ 是 $n$-rectifiable with $\mathcal H^n(E)>0$,则所有 $f$ 的集合与 $\mathcal H^n(f(E))> 0$ 是残差。这些结果替代了任意度量空间中的 Besicovitch-Federer 投影定理,该定理在欧几里得空间之外是错误的。