In the first part of this paper we show that a set $E$ has locally finite $s$-perimeter if and only if it can be approximated in an appropriate sense by smooth open sets. In the second part we prove some elementary properties of local and global $s$-minimal sets, such as existence and compactness. We also compare the two notions of minimizer (i.e. local and global), showing that in bounded open sets with Lipschitz boundary they coincide. However, in general this is not true in unbounded open sets, where a global $s$-minimal set may fail to exist (we provide an example in the case of a cylinder $\Omega\times\mathbb{R}$).

中文翻译：

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通过光滑集和局部和全局$s$-最小表面的比较来逼近有限分数周长的集合

在本文的第一部分中，我们证明了一个集合 $E$ 具有局部有限的 $s$-周长，当且仅当它可以在适当的意义上被平滑开集近似。在第二部分，我们证明了局部和全局$s$-极小集的一些基本性质，例如存在性和紧致性。我们还比较了最小化器的两个概念（即局部和全局），表明在具有 Lipschitz 边界的有界开集中它们重合。然而，一般而言，这在无界开放集合中并非如此，其中全局 $s$-minimal 集合可能不存在（我们在圆柱体 $\Omega\times\mathbb{R}$ 的情况下提供了一个示例）。