This paper studies two types of 3-Lie bialgebras whose compatibility conditions between the multiplication and comultiplication are given by local cocycles and double constructions respectively, and are therefore called the local cocycle 3-Lie bialgebra and the double construction 3-Lie bialgebra. They can be regarded as suitable extensions of the well-known Lie bialgebra in the context of 3-Lie algebras, in two different directions. The local cocycle 3-Lie bialgebra is introduced to extend the connection between Lie bialgebras and the classical Yang-Baxter equation. Its relationship with a ternary variation of the classical Yang-Baxter equation, called the 3-Lie classical Yang-Baxter equation, a ternary $\mathcal{O}$-operator and a 3-pre-Lie algebra is established. In particular, it is shown that solutions of the 3-Lie classical Yang-Baxter equation give (coboundary) local cocycle 3-Lie bialgebras, whereas 3-pre-Lie algebras give rise to solutions of the 3-Lie classical Yang-Baxter equation. The double construction 3-Lie bialgebra is introduced to extend to the 3-Lie algebra context the connection between Lie bialgebras and double constructions of Lie algebras. Their related Manin triples give a natural construction of pseudo-metric 3-Lie algebras with neutral signature. Moreover, the double construction 3-Lie bialgebra can be regarded as a special class of the local cocycle 3-Lie bialgebra. Explicit examples of double construction 3-Lie bialgebras are provided.

中文翻译：

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双代数、经典的 Yang-Baxter 方程和 3-Lie 代数的 Manin 三元组

本文研究了两类3-Lie双代数，其乘法和协乘的相容条件分别由局域余环和二重结构给出，因此称为局域余环3-Lie双代数和二重结构3-Lie双代数。它们可以看作是著名的李双代数在 3-李代数的上下文中在两个不同方向上的合适扩展。引入局部环圈3-李双代数以扩展李双代数与经典Yang-Baxter方程之间的联系。建立了它与经典Yang-Baxter方程的三元变体的关系，称为3-Lie经典Yang-Baxter方程，一个三元$\mathcal{O}$-算子和一个3-pre-Lie代数。特别是，结果表明，3-Lie 经典Yang-Baxter 方程的解给出（共边界）局部cocycle 3-Lie 双代数，而3-pre-Lie 代数给出了3-Lie 经典Yang-Baxter 方程的解。引入双重构造 3-李双代数是为了将李双代数与李代数的双重构造之间的联系扩展到 3-Lie 代数上下文。他们相关的 Manin 三元组给出了具有中性特征的伪度量 3-Lie 代数的自然构造。并且，对偶构造3-Lie双代数可以看作是局域环圈3-Lie双代数的一个特殊类。提供了双重构造 3-Lie 双代数的显式示例。引入双重构造 3-李双代数是为了将李双代数与李代数的双重构造之间的联系扩展到 3-Lie 代数上下文。他们相关的 Manin 三元组给出了具有中性特征的伪度量 3-Lie 代数的自然构造。并且，对偶构造3-Lie双代数可以看成是局域cocycle 3-Lie双代数的一个特殊类。提供了双重构造 3-Lie 双代数的显式示例。引入双重构造 3-李双代数是为了将李双代数与李代数的双重构造之间的联系扩展到 3-Lie 代数上下文。他们相关的 Manin 三元组给出了具有中性特征的伪度量 3-Lie 代数的自然构造。并且，对偶构造3-Lie双代数可以看作是局域环圈3-Lie双代数的一个特殊类。提供了双重构造 3-Lie 双代数的显式示例。双构造3-Lie双代数可以看作是局域环圈3-Lie双代数的一个特殊类。提供了双重构造 3-Lie 双代数的显式示例。双构造3-Lie双代数可以看作是局域环圈3-Lie双代数的一个特殊类。提供了双重构造 3-Lie 双代数的显式示例。