We provide explicit counterexamples to the so-called Complement Problem in every dimension $n\geq3$, i.e. pairs of non-isomorphic irreducible hypersurfaces $H_1, H_2\subset\mathbb{C}^{n}$ whose complements $\mathbb{C}^{n}\setminus H_1$ and $\mathbb{C}^{n}\setminus H_2$ are isomorphic. Since we can arrange that one of the hypersurfaces is singular whereas the other is smooth, we also have counterexamples in the analytic setting.

中文翻译：

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补码问题的反例

我们为每个维度 $n\geq3$ 中所谓的补码问题提供了明确的反例，即非同构不可约超曲面对 $H_1, H_2\subset\mathbb{C}^{n}$ 其补码 $\mathbb{ C}^{n}\setminus H_1$ 和 $\mathbb{C}^{n}\setminus H_2$ 是同构的。由于我们可以安排其中一个超曲面是奇异的而另一个是光滑的，因此我们在解析设置中也有反例。