Let $X$ be a locally finite irreducible affine building of dimension $\geq 2$ and $\Gamma \leq \mathrm{Aut}(X)$ be a discrete group acting cocompactly. The goal of this paper is to address the following question: When is $\Gamma$ linear? More generally, when does $\Gamma$ admit a finite-dimensional representation with infinite image over a commutative unital ring? If $X$ is the Bruhat--Tits building of a simple algebraic group over a local field and if $\Gamma$ is an arithmetic lattice, then $\Gamma$ is clearly linear. We prove that if $X$ is of type $\widetilde A_2$, then the converse holds. In particular, cocompact lattices in exotic $\widetilde A_2$-buildings are non-linear. As an application, we obtain the first infinite family of lattices in exotic $\widetilde A_2$-buildings of arbitrarily large thickness, providing also a partial answer to a question of W. Kantor from 1986. We also show that if $X$ is Bruhat--Tits of arbitrary type, then the linearity of $\Gamma$ implies that $\Gamma$ is virtually contained in the linear part of the automorphism group of $X$, in particular $\Gamma$ is an arithmetic lattice. The proofs are based on the machinery of algebraic representations of ergodic systems recently developed by U. Bader and A. Furman. The implementation of that tool in the present context requires the geometric construction of a suitable ergodic $\Gamma$-space attached to the the building $X$, which we call the \emph{singular Cartan flow}.

中文翻译：

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关于仿射建筑中格子的线性和奇异嘉当流的遍历性

令$X$ 是维数$\geq 2$ 的局部有限不可约仿射建筑，$\Gamma \leq \mathrm{Aut}(X)$ 是一个协同作用的离散群。本文的目标是解决以下问题：$\Gamma$ 何时是线性的？更一般地说，$\Gamma$ 什么时候承认在交换单位环上具有无限图像的有限维表示？如果$X$ 是局部域上简单代数群的Bruhat--Tits 构建，并且如果$\Gamma$ 是算术格，则$\Gamma$ 显然是线性的。我们证明如果 $X$ 是 $\widetilde A_2$ 类型，则反之亦然。特别是，奇异的 $\widetilde A_2$-buildings 中的共紧格是非线性的。作为一个应用，我们获得了任意大厚度的奇异 $\widetilde A_2$-建筑物中的第一个无限格子族，还提供了 1986 年 W. Kantor 问题的部分答案。我们还表明，如果 $X$ 是任意类型的 Bruhat--Tits，则 $\Gamma$ 的线性意味着 $\Gamma$ 实际上包含在$X$ 的自同构群的线性部分，特别是 $\Gamma$ 是一个算术格。这些证明基于 U. Bader 和 A. Furman 最近开发的遍历系统的代数表示机制。在当前上下文中该工具的实现需要一个合适的遍历 $\Gamma$-空间的几何构造，该空间连接到建筑物 $X$，我们称之为 \emph{singular Cartan flow}。那么$\Gamma$ 的线性意味着$\Gamma$ 实际上包含在$X$ 的自同构群的线性部分中，特别是$\Gamma$ 是一个算术格。这些证明基于 U. Bader 和 A. Furman 最近开发的遍历系统的代数表示机制。在当前上下文中该工具的实现需要一个合适的遍历 $\Gamma$-空间的几何构造，该空间连接到建筑物 $X$，我们称之为 \emph{singular Cartan flow}。那么$\Gamma$ 的线性意味着$\Gamma$ 实际上包含在$X$ 的自同构群的线性部分中，特别是$\Gamma$ 是一个算术格。这些证明基于 U. Bader 和 A. Furman 最近开发的遍历系统的代数表示机制。在当前上下文中该工具的实现需要一个合适的遍历 $\Gamma$-空间的几何构造，该空间连接到建筑物 $X$，我们称之为 \emph{singular Cartan flow}。