We prove that every Besicovitch set in ℝ^3 must have Hausdorff dimension at least 5/2 + ϵ_0 for some small constant ϵ_0 > 0. This follows from a more general result about the volume of unions of tubes that satisfies the Wolff axioms. Our proof grapples with a new “almost counterexample” to the Kakeya conjecture, which we call the SL_2 example; this object resembles a Besicovitch set that has Minkowski dimension 3 but Hausdorff dimension 5/2. We believe this example may be an interesting object for future study.

中文翻译：

---

$\mathbb {R}^3$ 中 Besicovitch 集合的 Hausdorff 维的改进边界

我们证明对于一些小常数 ϵ_0 > 0，ℝ^3 中的每个 Besicovitch 集必须具有至少 5/2 + ϵ_0 的 Hausdorff 维数。我们的证明与 Kakeya 猜想的一个新的“几乎反例”作斗争，我们称之为 SL_2 例子；该对象类似于具有 Minkowski 维 3 但 Hausdorff 维 5/2 的 Besicovitch 集。我们相信这个例子可能是未来研究的一个有趣的对象。