We obtain an explicit combinatorial formula for the number of solutions $(x_1,\dots ,x_r)\in {({\mathbb{F}}_{p^{ab}})}^r$ to the diagonal equation $x_1^k+\cdots +x_r^k=\alpha$ over the finite field ${\mathbb{F}}_{p^{ab}}$, with $k=\frac{p^{ab}-1}{b(p^a-1)}$ and $b>1$, by using the number of r-walks in NEPS of complete graphs.

中文翻译：

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通过图的 NEPS 中的游走在有限域上的对角方程

我们获得了解决方案数量的显式组合公式 $(X_1,\dots ,X_r)\in {({\mathbb{F}}_{{磷}^{\mathrm{一种}乙}})}^r$ 到对角方程 $X_1^{克}+\cdots +X_r^{克}=\alpha$ 在有限域上 ${\mathbb{F}}_{{磷}^{\mathrm{一种}乙}}$， 和 $克=\frac{{磷}^{\mathrm{一种}乙}-1}{乙({磷}^{\mathrm{一种}}-1)}$ 和 $乙>1$，通过使用完整图的 NEPS 中的r游走次数。