Eisermann has shown that the Jones polynomial of a $n$-component ribbon link $L\subset S^3$ is divided by the Jones polynomial of the trivial $n$-component link. We improve this theorem by extending its range of application from links in $S^3$ to colored knotted trivalent graphs in $\#_g(S^2\times S^1)$, the connected sum of $g\geqslant 0$ copies of $S^2\times S^1$. We show in particular that if the Kauffman bracket of a knot in $\#_g(S^2\times S^1)$ has a pole in $q=i$ of order $n$, the ribbon genus of the knot is at least $\frac {n+1}2$. We construct some families of knots in $\#_g(S^2\times S^1)$ for which this lower bound is sharp and arbitrarily big. We prove these estimates using Turaev shadows.

中文翻译：

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阴影、带状表面和量子不变量

Eisermann 已经证明了 $n$ 分量带状链接 $L\subset S^3$ 的琼斯多项式除以平凡的 $n$ 分量链接的琼斯多项式。我们通过将其应用范围从 $S^3$ 中的链接扩展到 $\#_g(S^2\times S^1)$ 中的彩色打结三价图，即 $g\geqslant 0$ 的连通和来改进该定理$S^2\times S^1$ 的副本。我们特别表明，如果 $\#_g(S^2\times S^1)$ 中一个结的 Kauffman 括号在 $q=i$ 的 $n$ 阶中有一个极点，则结的色带属是至少 $\frac {n+1}2$。我们在 $\#_g(S^2\times S^1)$ 中构建了一些结族，对于这些结，这个下界是尖锐且任意大的。我们使用 Turaev 阴影证明了这些估计。