We employ the functional renormalization group framework at the second order in the derivative expansion to study the $O(N)$ models continuously varying the number of field components $N$ and the spatial dimensionality $d$. We in particular address the Cardy-Hamber prediction concerning nonanalytical behavior of the critical exponents $\nu$ and $\eta$ across a line in the $(d,N)$ plane, which passes through the point $(2,2)$. By direct numerical evaluation of $\eta(d,N)$ and $\nu^{-1}(d,N)$ as well as analysis of the functional fixed-point profiles, we find clear indications of this line in the form of a crossover between two regimes in the $(d,N)$ plane, however no evidence of discontinuous or singular first and second derivatives of these functions for $d>2$. The computed derivatives of $\eta(d,N)$ and $\nu^{-1}(d,N)$ become increasingly large for $d\to 2$ and $N\to 2$ and it is only in this limit that $\eta(d,N)$ and $\nu^{-1}(d,N)$ as obtained by us are evidently nonanalytical. By scanning the dependence of the subleading eigenvalue of the RG transformation on $N$ for $d>2$ we find no indication of its vanishing as anticipated by the Cardy-Hamber scenario. For dimensionality $d$ approaching 3 there are no signatures of the Cardy-Hamber line even as a crossover and its existence in the form of a nonanalyticity of the anticipated form is excluded.

中文翻译：

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非微扰重整化 $O(N)$ 模型的临界指数分析

我们在导数展开的二阶使用函数重整化群框架来研究 $O(N)$ 模型不断改变场分量 $N$ 和空间维度 $d$ 的数量。我们特别讨论了关于临界指数 $\nu$ 和 $\eta$ 穿过 $(d,N)$ 平面中的一条线的非分析行为的 Cardy-Hamber 预测，该平面通过点 $(2,2) $. 通过对 $\eta(d,N)$ 和 $\nu^{-1}(d,N)$ 的直接数值评估以及对函数定点剖面的分析，我们在$(d,N)$ 平面中两个政权之间的交叉形式，但是没有证据表明 $d>2$ 时这些函数的一阶和二阶导数不连续或奇异。$\eta(d,N)$ 和 $\nu^{-1}(d, N)$ 对于 $d\to 2$ 和 $N\to 2$ 变得越来越大，并且仅在此限制中 $\eta(d,N)$ 和 $\nu^{-1}(d,N我们获得的 )$ 显然是非分析性的。通过扫描 RG 变换的次前导特征值对 $d>2$ 的 $N$ 的依赖性，我们没有发现它如 Cardy-Hamber 情景所预期的那样消失的迹象。对于接近 3 的维度 $d$，即使作为交叉线也没有 Cardy-Hamber 线的签名，并且排除了其以预期形式的非分析性形式存在。2$ 我们没有发现它像 Cardy-Hamber 情景所预期的那样消失。对于接近 3 的维度 $d$，即使作为交叉线也没有 Cardy-Hamber 线的签名，并且排除了其以预期形式的非分析性形式存在。2$ 我们没有发现它会像 Cardy-Hamber 情景所预期的那样消失。对于接近 3 的维度 $d$，即使作为交叉线也没有 Cardy-Hamber 线的签名，并且排除了其以预期形式的非分析性形式存在。