We give a very short proof, using the Hermite semigroup, to a generalized version of Hardy’s theorem due to Hogan and Lakey. We characterize \(f\in L^2({\mathbb {R}}^n)\) when decay of f and its Fourier transform \({\hat{f}}\) is assumed in some rays of the complex plane. Also considering the decay of the Hermite coefficient of \(f\in L^2({\mathbb {R}}^n)\), we prove a version of Hardy’s theorem related to rotation.

中文翻译：

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关于哈代定理和旋转的注释

我们使用 Hermite 半群给出了一个非常简短的证明，证明由于 Hogan 和 Lakey 的 Hardy 定理的广义版本。我们刻画了\(f\in L^2({\mathbb {R}}^n)\)当f 的衰减及其傅立叶变换\({\hat{f}}\)在复数的一些射线中被假定飞机。还考虑到\(f\in L^2({\mathbb {R}}^n)\)的 Hermite 系数的衰减，我们证明了与旋转相关的哈代定理的一个版本。