We establish results concerning covers of spaces by compact and related sets. Several cardinality bounds follow as corollaries. Introducing the cardinal invariant $$\overline{\psi}_c(X)$$ , we show that $$|X|\leq \pi\chi(X)^{c(X)\overline{\psi}_c(X)}$$ for any topological space X. If X is Hausdorff then $$\overline{\psi}_c(X)\leq\psi_c(X)$$ ; this gives a strengthening of a theorem of Shu-Hao [24]. We also prove that $$|X|\leq 2^{pwL_c(X)t(X)pct(X)}$$ for a homogeneous Hausdorff space X. The invariant $$pwL_c(X)$$ , introduced in [9], is bounded above by both L(X) and c(X). Our result thus improves the bound $$|X|\leq 2^{L(X)t(X)pct(X)}$$ for homogeneous Hausdorff spaces X [13] and represents a new extension of de la Vega's Theorem [15] into the Hausdorff setting. Moreover, we show $$pwL(X)\leq aL(X)$$ , demonstrating that $$2^{pwL(X)\chi(X)}$$ is not a cardinality bound for all Hausdorff spaces. This answers a question of Bella and Spadaro [9]. A further theorem on covers by $$G^c_\kappa$$ -sets lead to cardinality bounds involving the linear Lindelof degree $$lL(X)$$ , a weakening of L(X). It was shown in [5] that $$|X|\leq 2^{lL(X)F(X)\psi(X)}$$ for Tychonoff spaces. We show the consistency of a) $$|X|\leq 2^{lL(X)F(X)\psi_c(X)}$$ if X is Hausdorff, and b) $$|X|\leq 2^{lL(X)F(X)pct(X)}$$ if X is Hausdorff and homogeneous. If X is additionally regular, the former consistently improves the result from [5]. The latter gives a consistent improvement of the inequality $$|X|\leq 2^{L(X)t(X)pct(X)}$$ for homogeneous Hausdorff spaces.

中文翻译：

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通过紧集覆盖的基数界限

我们通过紧集和相关集建立关于空间覆盖的结果。几个基数界限作为推论遵循。引入基数不变量 $$\overline{\psi}_c(X)$$ ，我们证明 $$|X|\leq \pi\chi(X)^{c(X)\overline{\psi}_c( X)}$$ 对于任何拓扑空间 X。如果 X 是 Hausdorff，则 $$\overline{\psi}_c(X)\leq\psi_c(X)$$ ; 这加强了 Shu-Hao [24] 的定理。我们还证明了 $$|X|\leq 2^{pwL_c(X)t(X)pct(X)}$$ 对于齐次 Hausdorff 空间 X。不变量 $$pwL_c(X)$$ ，在 [ 9]，由 L(X) 和 c(X) 限定。因此，我们的结果改进了齐次 Hausdorff 空间 X [13] 的边界 $$|X|\leq 2^{L(X)t(X)pct(X)}$$，并代表了 de la Vega 定理的新扩展 [ 15]进入豪斯多夫设置。此外，我们显示 $$pwL(X)\leq aL(X)$$ ，证明 $$2^{pwL(X)\chi(X)}$$ 不是所有 Hausdorff 空间的基数界。这回答了 Bella 和 Spadaro [9] 的问题。$$G^c_\kappa$$ -sets 覆盖的进一步定理导致涉及线性林德洛夫度 $$lL(X)$$ 的基数界限，L(X) 的弱化。在 [5] 中表明 $$|X|\leq 2^{lL(X)F(X)\psi(X)}$$ 对于 Tychonoff 空间。我们证明了 a) $$|X|\leq 2^{lL(X)F(X)\psi_c(X)}$$ 如果 X 是 Hausdorff，以及 b) $$|X|\leq 2^ {lL(X)F(X)pct(X)}$$ 如果 X 是 Hausdorff 并且是齐次的。如果 X 是额外的正则，前者会持续改进 [5] 的结果。对于齐次 Hausdorff 空间，后者给出了不等式 $$|X|\leq 2^{L(X)t(X)pct(X)}$$ 的一致改进。$$G^c_\kappa$$ -sets 覆盖的进一步定理导致涉及线性林德洛夫度 $$lL(X)$$ 的基数界限，L(X) 的弱化。在 [5] 中表明 $$|X|\leq 2^{lL(X)F(X)\psi(X)}$$ 对于 Tychonoff 空间。我们证明了 a) $$|X|\leq 2^{lL(X)F(X)\psi_c(X)}$$ 如果 X 是 Hausdorff，以及 b) $$|X|\leq 2^ {lL(X)F(X)pct(X)}$$ 如果 X 是 Hausdorff 并且是齐次的。如果 X 是额外的正则，前者会持续改进 [5] 的结果。对于齐次 Hausdorff 空间，后者给出了不等式 $$|X|\leq 2^{L(X)t(X)pct(X)}$$ 的一致改进。$$G^c_\kappa$$ -sets 覆盖的进一步定理导致涉及线性林德洛夫度 $$lL(X)$$ 的基数界限，L(X) 的弱化。在 [5] 中表明，对于 Tychonoff 空间，$$|X|\leq 2^{lL(X)F(X)\psi(X)}$$。我们证明了 a) $$|X|\leq 2^{lL(X)F(X)\psi_c(X)}$$ 如果 X 是 Hausdorff，以及 b) $$|X|\leq 2^ {lL(X)F(X)pct(X)}$$ 如果 X 是 Hausdorff 并且是齐次的。如果 X 是额外的正则，前者会持续改进 [5] 的结果。对于齐次 Hausdorff 空间，后者给出了不等式 $$|X|\leq 2^{L(X)t(X)pct(X)}$$ 的一致改进。我们证明了 a) $$|X|\leq 2^{lL(X)F(X)\psi_c(X)}$$ 如果 X 是 Hausdorff，以及 b) $$|X|\leq 2^ {lL(X)F(X)pct(X)}$$ 如果 X 是 Hausdorff 并且是齐次的。如果 X 是额外的正则，前者会持续改进 [5] 的结果。对于齐次 Hausdorff 空间，后者给出了不等式 $$|X|\leq 2^{L(X)t(X)pct(X)}$$ 的一致改进。我们证明了 a) $$|X|\leq 2^{lL(X)F(X)\psi_c(X)}$$ 如果 X 是 Hausdorff，以及 b) $$|X|\leq 2^ {lL(X)F(X)pct(X)}$$ 如果 X 是 Hausdorff 并且是齐次的。如果 X 是额外的正则，前者会持续改进 [5] 的结果。对于齐次 Hausdorff 空间，后者给出了不等式 $$|X|\leq 2^{L(X)t(X)pct(X)}$$ 的一致改进。