SIAM Journal on Discrete Mathematics, Volume 35, Issue 2, Page 1077-1095, January 2021.
In this paper, we present a reciprocity on finite abelian groups involving zero-sum sequences. Let $G$ and $H$ be finite abelian groups with $(|G|,|H|)=1$. For any positive integer $m$, let $M(G,m)$ denote the set of all zero-sum sequences over $G$ of length $m$. We have the reciprocity $|M(G,|H|)|=|M(H,|G|)|$. Moreover, we provide a combinatorial interpretation of the above reciprocity using ideas from rational Catalan combinatorics. We also present and explain some other symmetric relationships on finite abelian groups with methods from invariant theory. Among others, we partially answer a question proposed by Panyushev in a generalized version.

中文翻译：

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涉及零和序列的有限阿贝尔群的互易性

SIAM 离散数学杂志，第 35 卷，第 2 期，第 1077-1095 页，2021
年1 月。在本文中，我们提出了涉及零和序列的有限阿贝尔群的互易性。令$G$和$H$为$(|G|,|H|)=1$的有限阿贝尔群。对于任何正整数 $m$，令 $M(G,m)$ 表示长度为 $m$ 的 $G$ 上所有零和序列的集合。我们有互惠$|M(G,|H|)|=|M(H,|G|)|$。此外，我们使用理性加泰罗尼亚组合学的思想对上述互惠进行组合解释。我们还使用不变理论的方法提出并解释了有限阿贝尔群上的一些其他对称关系。其中，我们部分回答了 Panyushev 提出的一个通用版本的问题。