SIAM Journal on Discrete Mathematics, Volume 35, Issue 2, Page 1050-1076, January 2021.
Motivated by the successful application of geometry to proving the Harary--Hill conjecture for “pseudolinear” drawings of $K_n$, we introduce “pseudospherical” drawings of graphs. A spherical drawing of a graph $G$ is a drawing in the unit sphere $\mathbb{S}^2$ in which the vertices of $G$ are represented as points---no three on a great circle---and the edges of $G$ are shortest-arcs in $\mathbb{S}^2$ connecting pairs of vertices. Such a drawing has three properties: (1) every edge $e$ is contained in a simple closed curve $\gamma_e$ such that the only vertices in $\gamma_e$ are the ends of $e$; (2) if $e\ne f$, then $\gamma_e\cap\gamma_f$ has precisely two crossings; and (3) if $e\ne f$, then $e$ intersects $\gamma_f$ at most once, in either a crossing or an end of $e$. We use properties (1)--(3) to define a pseudospherical drawing of $G$. Our main result is that for the complete graph, properties (1)--(3) are equivalent to the same three properties but with “precisely two crossings” in (2) replaced by “at most two crossings.” The proof requires a result in the geometric transversal theory of arrangements of pseudocircles. This is proved using the surprising result that the absence of special arcs (coherent spirals) in an arrangement of simple closed curves characterizes the fact that any two curves in the arrangement have at most two crossings. Our studies provide the necessary ideas for exhibiting a drawing of $K_{10}$ that has no extension to an arrangement of pseudocircles and a drawing of $K_9$ that does extend to an arrangement of pseudocircles, but no such extension has all pairs of pseudocircles crossing twice.

中文翻译：

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将完整图的绘图扩展为伪圆的排列

SIAM 离散数学杂志，第 35 卷，第 2 期，第 1050-1076 页，2021 年 1 月。
受几何学的成功应用来证明 $K_n$ 的“伪线性”绘图的 Harary-Hill 猜想的启发，我们引入了图形的“伪球形”绘图。图 $G$ 的球面图是在单位球面 $\mathbb{S}^2$ 中的图，其中 $G$ 的顶点表示为点---大圆上没有三个---并且$G$ 的边是 $\mathbb{S}^2$ 中连接顶点对的最短弧。这样的图形具有三个属性：（1）每条边 $e$ 都包含在一个简单的闭合曲线 $\gamma_e$ 中，使得 $\gamma_e$ 中唯一的顶点是 $e$ 的端点；(2) 如果 $e\ne f$，则 $\gamma_e\cap\gamma_f$ 正好有两个交叉点；(3) 如果 $e\ne f$，则 $e$ 最多与 $\gamma_f$ 相交一次，在 $e$ 的交叉点或末端。我们使用属性 (1)--(3) 来定义 $G$ 的伪球面图。我们的主要结果是，对于完整图，属性 (1)--(3) 等效于相同的三个属性，但将 (2) 中的“恰好两个交叉点”替换为“最多两个交叉点”。证明需要伪圆排列的几何横向理论的结果。使用简单闭合曲线排列中不存在特殊弧线（相干螺线）的惊人结果证明了这一点，即排列中的任何两条曲线最多有两个交叉点。我们的研究为展示没有扩展到伪圆排列的 $K_{10}$ 绘图和扩展到伪圆排列的 $K_9$ 绘图提供了必要的想法，但没有这样的扩展具有所有对假圆交叉两次。属性 (1)--(3) 等效于相同的三个属性，但将 (2) 中的“恰好两个交叉”替换为“最多两个交叉”。证明需要伪圆排列的几何横向理论的结果。使用简单闭合曲线排列中不存在特殊弧线（相干螺线）的惊人结果证明了这一点，即排列中的任何两条曲线最多有两个交叉点。我们的研究为展示没有扩展到伪圆排列的 $K_{10}$ 绘图和扩展到伪圆排列的 $K_9$ 绘图提供了必要的想法，但没有这样的扩展具有所有对假圆交叉两次。属性 (1)--(3) 等效于相同的三个属性，但将 (2) 中的“恰好两个交叉”替换为“最多两个交叉”。证明需要伪圆排列的几何横向理论的结果。使用简单闭合曲线排列中不存在特殊弧线（相干螺线）的惊人结果证明了这一点，即排列中的任何两条曲线最多有两个交叉点。我们的研究为展示没有扩展到伪圆排列的 $K_{10}$ 绘图和扩展到伪圆排列的 $K_9$ 绘图提供了必要的想法，但没有这样的扩展具有所有对假圆交叉两次。