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SANM: A Symbolic Asymptotic Numerical Solver with Applications in Mesh Deformation
arXiv - CS - Symbolic Computation Pub Date : 2021-05-18 , DOI: arxiv-2105.08535
Kai Jia

Solving nonlinear systems is an important problem. Numerical continuation methods efficiently solve certain nonlinear systems. The Asymptotic Numerical Method (ANM) is a powerful continuation method that usually converges faster than Newtonian methods. ANM explores the landscape of the function by following a parameterized solution curve approximated with a high-order power series. Although ANM has successfully solved a few graphics and engineering problems, prior to our work, applying ANM to new problems required significant effort because the standard ANM assumes quadratic functions, while manually deriving the power series expansion for nonquadratic systems is a tedious and challenging task. This paper presents a novel solver, SANM, that applies ANM to solve symbolically represented nonlinear systems. SANM solves such systems in a fully automated manner. SANM also extends ANM to support many nonquadratic operators, including intricate ones such as singular value decomposition. Furthermore, SANM generalizes ANM to support the implicit homotopy form. Moreover, SANM achieves high computing performance via optimized system design and implementation. We deploy SANM to solve forward and inverse elastic force equilibrium problems and controlled mesh deformation problems with a few constitutive models. Our results show that SANM converges faster than Newtonian solvers, requires little programming effort for new problems, and delivers comparable or better performance than a hand-coded, specialized ANM solver. While we demonstrate on mesh deformation problems, SANM is generic and potentially applicable to many tasks.

中文翻译:

SANM:一种符号渐近数值解法及其在网格变形中的应用

解决非线性系统是一个重要的问题。数值连续方法有效地解决了某些非线性系统。渐近数值方法(ANM)是一种功能强大的延续方法,其收敛速度通常比牛顿方法快。ANM通过遵循以高阶幂级数近似的参数化解曲线来探索功能的前景。尽管ANM已成功解决了一些图形和工程问题,但在我们开展工作之前,将ANM应用于新问题仍需付出巨大的努力,因为标准ANM具有二次函数,而手动推导非二次系统的幂级数扩展则是一项繁琐而艰巨的任务。本文提出了一种新颖的求解器SANM,它应用ANM来求解符号表示的非线性系统。SANM以完全自动化的方式解决了此类系统。SANM还扩展了ANM,以支持许多非二次运算符,包括诸如奇异值分解之类的复杂运算符。此外,SANM使ANM通用化以支持隐式同构形式。此外,SANM通过优化的系统设计和实现可实现较高的计算性能。我们使用一些本构模型来部署SANM,以解决正向和反向弹性力平衡问题和受控网格变形问题。我们的结果表明,SANM的收敛速度比牛顿求解器快,对于新问题所需的编程工作很少,并且与手动编码的专用ANM求解器相比,性能可比或更高。当我们演示网格变形问题时,SANM是通用的,并且可能适用于许多任务。SANM还扩展了ANM,以支持许多非二次运算符,包括诸如奇异值分解之类的复杂运算符。此外,SANM使ANM通用化以支持隐式同构形式。此外,SANM通过优化的系统设计和实现可实现较高的计算性能。我们使用一些本构模型来部署SANM,以解决正向和反向弹性力平衡问题和受控网格变形问题。我们的结果表明,SANM的收敛速度比牛顿求解器快,对于新问题所需的编程工作很少,并且与手动编码的专用ANM求解器相比,性能可比或更高。虽然我们演示了网格变形问题,但SANM是通用的,可能适用于许多任务。SANM还扩展了ANM,以支持许多非二次运算符,包括诸如奇异值分解之类的复杂运算符。此外,SANM使ANM通用化以支持隐式同构形式。此外,SANM通过优化的系统设计和实现可实现较高的计算性能。我们使用一些本构模型来部署SANM,以解决正向和反向弹性力平衡问题和受控网格变形问题。我们的结果表明,SANM的收敛速度比牛顿求解器快,对于新问题所需的编程工作很少,并且与手动编码的专用ANM求解器相比,性能可比或更高。虽然我们演示了网格变形问题,但SANM是通用的,可能适用于许多任务。包括诸如奇异值分解之类的复杂运算。此外,SANM使ANM通用化以支持隐式同构形式。此外,SANM通过优化的系统设计和实现可实现较高的计算性能。我们使用一些本构模型来部署SANM,以解决正向和反向弹性力平衡问题和受控网格变形问题。我们的结果表明,SANM的收敛速度比牛顿求解器快,对于新问题所需的编程工作很少,并且与手动编码的专用ANM求解器相比,性能可比或更高。虽然我们演示了网格变形问题,但SANM是通用的,可能适用于许多任务。包括诸如奇异值分解之类的复杂运算。此外,SANM使ANM通用化以支持隐式同构形式。此外,SANM通过优化的系统设计和实现可实现较高的计算性能。我们使用一些本构模型来部署SANM,以解决正向和反向弹性力平衡问题和受控网格变形问题。我们的结果表明,SANM的收敛速度比牛顿求解器快,对于新问题所需的编程工作很少,并且与手动编码的专用ANM求解器相比,性能可比或更高。虽然我们演示了网格变形问题,但SANM是通用的,可能适用于许多任务。SANM通过优化的系统设计和实施来实现较高的计算性能。我们使用一些本构模型来部署SANM,以解决正向和反向弹性力平衡问题和受控的网格变形问题。我们的结果表明,SANM的收敛速度比牛顿求解器快,几乎不需要编写程序就可以解决新问题,并且与手工编码的专用ANM求解器相比,性能可比或更高。虽然我们演示了网格变形问题,但SANM是通用的,可能适用于许多任务。SANM通过优化的系统设计和实施来实现较高的计算性能。我们使用一些本构模型来部署SANM,以解决正向和反向弹性力平衡问题和受控网格变形问题。我们的结果表明,SANM的收敛速度比牛顿求解器快,对于新问题所需的编程工作很少,并且与手动编码的专用ANM求解器相比,性能可比或更高。虽然我们演示了网格变形问题,但SANM是通用的,可能适用于许多任务。与手动编码的专用ANM解算器相比,具有可比或更好的性能。虽然我们演示了网格变形问题,但SANM是通用的,可能适用于许多任务。与手动编码的专用ANM解算器相比,具有可比或更好的性能。虽然我们演示了网格变形问题,但SANM是通用的,可能适用于许多任务。
更新日期:2021-05-19
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