SIAM Journal on Numerical Analysis, Volume 59, Issue 3, Page 1167-1194, January 2021.
We present a second-order accurate numerical method for a class of nonlocal nonlinear conservation laws called the “nonlocal pair-interaction model,” which was recently introduced by Du, Huang, and LeFloch [SIAM J. Numer. Anal., 55 (2017), pp. 2465--2489]. Our numerical method uses second-order accurate reconstruction-based schemes for local conservation laws in conjunction with appropriate numerical integration. We show that the resulting method is total variation diminishing (TVD) and converges towards a weak solution. In fact, in contrast to local conservation laws, our second-order reconstruction-based method converges towards the unique entropy solution provided that the nonlocal interaction kernel satisfies a certain growth condition near zero. Furthermore, as the nonlocal horizon parameter in our method approaches zero we recover a well-known second-order method for local conservation laws. In addition, we answer several questions from the paper by Du, Huang, and LeFloch [SIAM J. Numer. Anal., 55 (2017), pp. 2465--2489] concerning regularity of solutions. In particular, we prove that any discontinuity present in a weak solution must be stationary and that if the interaction kernel satisfies a certain growth condition, then weak solutions are unique. We present a series of numerical experiments in which we investigate the accuracy of our second-order scheme, demonstrate shock formation in the nonlocal pair-interaction model, and examine how the regularity of the solution depends on the choice of flux function.

中文翻译：

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非线性非线性守恒定律的二阶精确TVD数值方法

SIAM数值分析学报，第59卷，第3期，第1167-1194页，2021年1月。
我们为一类称为“非局部对相互作用模型”的非局部非线性守恒定律提出了一种二阶精确数值方法，该方法最近由Du，Huang和LeFloch提出[SIAM J. Numer。Anal。，55（2017），第2465--2489页]。我们的数值方法结合了适当的数值积分，使用了基于二阶精确重构的基于方案的局部保护律。我们证明了所得的方法是总变化减小（TVD）并收敛于一个弱解。实际上，与局部守恒定律相反，我们的基于二阶重构的方法收敛于唯一的熵解，前提是非局部相互作用内核满足接近零的特定生长条件。此外，当我们方法中的非局部视界参数接近零时，我们恢复了一种众所周知的用于当地守恒定律的二阶方法。此外，我们还回答了Du，Huang和LeFloch [SIAM J. Numer。Anal。，55（2017），pp。2465--2489]。特别是，我们证明了弱解中存在的任何不连续性必须是平稳的，并且如果相互作用核满足某个增长条件，则弱解是唯一的。我们提出了一系列数值实验，其中我们研究了二阶方案的准确性，论证了非局部对相互作用模型中的激波形成，并研究了解的规律性如何取决于通量函数的选择。我们从Du，Huang和LeFloch的论文中回答了几个问题[SIAM J. Numer。Anal。，55（2017），pp。2465--2489]。特别是，我们证明了弱解中存在的任何不连续性必须是平稳的，并且如果相互作用核满足某个增长条件，则弱解是唯一的。我们提出了一系列数值实验，其中我们研究了二阶方案的准确性，论证了非局部对相互作用模型中的激波形成，并研究了解的规律性如何取决于通量函数的选择。我们从Du，Huang和LeFloch的论文中回答了几个问题[SIAM J. Numer。Anal。，55（2017），pp。2465--2489]。特别是，我们证明了弱解中存在的任何不连续性必须是平稳的，并且如果相互作用核满足某个增长条件，则弱解是唯一的。我们提出了一系列数值实验，其中我们研究了二阶方案的准确性，论证了非局部对相互作用模型中的激波形成，并研究了解的规律性如何取决于通量函数的选择。我们证明弱解中存在的任何不连续性必须是平稳的，并且如果相互作用核满足某个增长条件，则弱解是唯一的。我们提出了一系列数值实验，其中我们研究了二阶方案的准确性，论证了非局部对相互作用模型中的激波形成，并研究了解的规律性如何取决于通量函数的选择。我们证明弱解中存在的任何不连续性必须是平稳的，并且如果相互作用核满足某个增长条件，则弱解是唯一的。我们提出了一系列数值实验，其中我们研究了二阶方案的准确性，论证了非局部对相互作用模型中的激波形成，并研究了解的规律性如何取决于通量函数的选择。