In this paper, we consider the regularity criterion for 3D incompressible Navier-Stokes equations in terms of one directional derivative of the velocity in anisotropic Lebesgue spaces. More precisely, it is proved that u becomes a regular solution if the ${\partial }_{3}u$ satisfies$\underset{0}{\overset{T}{\int }}\frac{{\Vert {\Vert {\Vert {\partial }_{3}u(t)\Vert }_{L_{x_1}^p}\Vert }_{L_{x_2}^q}\Vert }_{L_{x_3}^r}^{\beta }}{1+\ln ({\Vert {\partial }_{3}u\left(t\right)\Vert }_{L^2}+e)}dt<\infty ,$ where $\frac{2}{\beta }+\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}=1$ and $2<p,q,r\le \infty ,1-(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r})\ge 0$.

中文翻译：

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通过各向异性Lebesgue空间中速度的一个方向导数到3D Navier-Stokes方程的规则性准则

在本文中，我们根据各向异性Lebesgue空间中速度的一个方向导数，考虑了3D不可压缩Navier-Stokes方程的正则性准则。更确切地说，它证明了ü成为如果正规溶液${\partial }_3ü$ 满足$\underset{0}{\overset{Ť}{\int }}\frac{{\Vert {\Vert {\Vert {\partial }_3ü（Ť）\Vert }_{{\mathrm{大号}}_{X_{\mathrm{1个}}}^p}\Vert }_{{\mathrm{大号}}_{X_{\mathrm{2个}}}^q}\Vert }_{{\mathrm{大号}}_{X_3}^{\mathrm{[R}}}^{\beta }}{\mathrm{1个}+\ln （{\Vert {\partial }_3ü（Ť）\Vert }_{{\mathrm{大号}}^{\mathrm{2个}}}+Ë）}dŤ<\infty ，$ 在哪里 $\frac{\mathrm{2个}}{\beta }+\frac{\mathrm{1个}}{p}+\frac{\mathrm{1个}}{q}+\frac{\mathrm{1个}}{\mathrm{[R}}=\mathrm{1个}$ 和 $\mathrm{2个}<p，q，\mathrm{[R}\le \infty ，\mathrm{1个}-（\frac{\mathrm{1个}}{p}+\frac{\mathrm{1个}}{q}+\frac{\mathrm{1个}}{\mathrm{[R}}）\ge 0$。