Let M and N be unital Jordan-Banach algebras, and let $M^{-1}$ and $N^{-1}$ denote the sets of invertible elements in M and N, respectively. Suppose that $\mathfrak{M}\subseteq M^{-1}$ and $\mathfrak{N}\subseteq N^{-1}$ are clopen subsets of $M^{-1}$ and $N^{-1}$, respectively, which are closed for powers, inverses and products of the form $U_a(b)$. In this paper we prove that for each surjective isometry $\mathrm{\Delta }:\mathfrak{M}\to \mathfrak{N}$ there exists a surjective real-linear isometry $T_0:M\to N$ and an element $u_0$ in the McCrimmon radical of N such that $\mathrm{\Delta }(a)=T_0(a)+u_0$ for all $a\in \mathfrak{M}$. Assuming that M and N are unital JB^⁎-algebras we establish that for each surjective isometry $\mathrm{\Delta }:\mathfrak{M}\to \mathfrak{N}$ the element $\mathrm{\Delta }(\mathbf{\text{1}})=u$ is a unitary element in N and there exist a central projection $p\in M$ and a complex-linear Jordan ^⁎-isomorphism J from M onto the $u^{⁎}$-homotope $N_{u^{⁎}}$ such that$\mathrm{\Delta }(a)=J(p\circ a)+J((\mathbf{\text{1}}-p)\circ a^{⁎}),$ for all $a\in \mathfrak{M}$. Under the additional hypothesis that there is a unitary element ${\omega }_0$ in N satisfying $U_{{\omega }_0}(\mathrm{\Delta }(\mathbf{\text{1}}))=\mathbf{\text{1}}$, we show the existence of a central projection $p\in M$ and a complex-linear Jordan ^⁎-isomorphism Φ from M onto N such that$\mathrm{\Delta }(a)=U_{w_0^{⁎}}(\mathrm{\Phi }(p\circ a)+\mathrm{\Phi }((\mathbf{\text{1}}-p)\circ a^{⁎})),$ for all $a\in \mathfrak{M}$.

令M和N为单一的Jordan-Banach代数，并令${\mathrm{中号}}^{-\mathrm{1个}}$ 和 ${ñ}^{-\mathrm{1个}}$分别表示M和N中的可逆元素集。假设$\mathfrak{中号}\subseteq {\mathrm{中号}}^{-\mathrm{1个}}$ 和 $\mathfrak{ñ}\subseteq {ñ}^{-\mathrm{1个}}$ 是...的闭合子集 ${\mathrm{中号}}^{-\mathrm{1个}}$ 和 ${ñ}^{-\mathrm{1个}}$分别是封闭的，用于幂，逆和形式的乘积 ${ü}_{\mathrm{一种}}（b）$。在本文中，我们证明对于每个射影等距$\mathrm{\Delta }：\mathfrak{中号}\to \mathfrak{ñ}$ 存在一个实射实线性等距 ${Ť}_0：\mathrm{中号}\to ñ$ 和一个元素 ${ü}_0$在的McCrimmon自由基Ñ使得$\mathrm{\Delta }（\mathrm{一种}）={Ť}_0（\mathrm{一种}）+{ü}_0$ 对所有人 $\mathrm{一种}\in \mathfrak{中号}$。假设M和N是单位^JB⁎-代数，我们确定对于每个射影等距$\mathrm{\Delta }：\mathfrak{中号}\to \mathfrak{ñ}$ 元素 $\mathrm{\Delta }（\mathbf{\text{1个}}）=ü$是N中的一个element元，并且有一个中心投影$p\in \mathrm{中号}$和一个复杂的线性约旦^⁎ -isomorphism Ĵ从中号到${ü}^{⁎}$-同型 ${ñ}_{{ü}^{⁎}}$ 这样$\mathrm{\Delta }（\mathrm{一种}）=Ĵ（p\circ \mathrm{一种}）+Ĵ（（\mathbf{\text{1个}}-p）\circ {\mathrm{一种}}^{⁎}），$ 对所有人 $\mathrm{一种}\in \mathfrak{中号}$。在附加假设下，存在一个单一元素${\omega }_0$在N中令人满意${ü}_{{\omega }_0}（\mathrm{\Delta }（\mathbf{\text{1个}}））=\mathbf{\text{1个}}$，我们展示了一个中心投影的存在 $p\in \mathrm{中号}$和一个复杂的线性约旦^⁎从-isomorphismΦ中号到Ñ使得$\mathrm{\Delta }（\mathrm{一种}）={ü}_{w_0^{⁎}}（\mathrm{\Phi }（p\circ \mathrm{一种}）+\mathrm{\Phi }（（\mathbf{\text{1个}}-p）\circ {\mathrm{一种}}^{⁎}）），$ 对所有人 $\mathrm{一种}\in \mathfrak{中号}$。