We say that a map $f$ from a Banach space $X$ to another Banach space $Y$ is a phase-isometry if the equality \[ \{\|f(x)+f(y)\|, \|f(x)-f(y)\|\}=\{\|x+y\|, \|x-y\|\} \]holds for all $x,\,y\in X$. A Banach space $X$ is said to have the Wigner property if for any Banach space $Y$ and every surjective phase-isometry $f : X\rightarrow Y$, there exists a phase function $\varepsilon : X \rightarrow \{-1,\,1\}$ such that $\varepsilon \cdot f$ is a linear isometry. We present some basic properties of phase-isometries between two real Banach spaces. These enable us to show that all finite-dimensional polyhedral Banach spaces and CL-spaces possess the Wigner property.

中文翻译：

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CL 空间和有限维多面体 Banach 空间的 wigner 性质

我们说一张地图$f$从巴拿赫空间$X$到另一个 Banach 空间$Y$如果等式是相位等距\[ \{\|f(x)+f(y)\|, \|f(x)-f(y)\|\}=\{\|x+y\|, \|xy\|\ } \]适用于所有人$x,\,y\in X$. 巴拿赫空间$X$如果对于任何 Banach 空间，则据说具有 Wigner 属性$Y$和每一个满射相位等距$f : X\rightarrow Y$, 存在相位函数$\varepsilon : X \rightarrow \{-1,\,1\}$这样$\伐普西隆\cdot f$是线性等距。我们提出了两个实巴拿赫空间之间相位等距的一些基本性质。这些使我们能够证明所有有限维多面体 Banach 空间和 CL 空间都具有 Wigner 属性。