In this paper, we prove a supercongruence via the Wilf–Zeilberger method and symbolic summation algorithms in the setting of difference rings. That is, for any prime $p>3$,$$\begin{gathered} \sum _{n=0}^{(p-1)/2}\frac{3n+1}{{(-8)}^n}{\left(\begin{array}{c}2n\\ n\end{array}\right)}^3 \\ \equiv p\left(\frac{-1}{p}\right)+\frac{p^3}{4}\left(\frac{2}{p}\right)E_{p-3}\left(\frac{1}{4}\right)(\mathrm{mod}{p}^4), \end{gathered}$$ where $\left(\frac{\cdot }{p}\right)$ stands for the Legendre symbol, and $E_n(x)$ are the Euler polynomials. This confirms a special case of a recent conjecture of Z.-W. Sun (Sun, 2019, (2.18)).

中文翻译：

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通过Wilf-Zeilberger方法证明超同余

在本文中，我们通过Wilf-Zeilberger方法和符号求和算法在差分环设置中证明了超同余。也就是说，对于任何素数$p>3$，$$\begin{gathered} \sum _{ñ=0}^{（p-\mathrm{1个}）/\mathrm{2个}}\frac{3ñ+\mathrm{1个}}{{（-8）}^{ñ}}{（\begin{array}{c}\mathrm{2个}ñ\\ ñ\end{array}）}^3 \\ \equiv p（\frac{-\mathrm{1个}}{p}）+\frac{p^3}{4}（\frac{\mathrm{2个}}{p}）{Ë}_{p-3}（\frac{\mathrm{1个}}{4}）（\mathrm{国防部}{p}^4）， \end{gathered}$$ 在哪里 $（\frac{\cdot }{p}）$ 代表勒让德（Legendre）符号，并且 ${Ë}_{ñ}（X）$是欧拉多项式。这证实了Z.-W最近猜想的特殊情况。周日（Sun，2019，（2.18））。