To properly characterize a spatio-temporal random process, it is necessary to understand the process’ dependence structure. It is common to describe this dependence using a single random error having a complicated covariance. Instead of using the single random error approach, we describe spatio-temporal random processes using linear mixed models having several random errors; each random error describes a specific quality of the covariance. This linear mixed model formulation is general, intuitive, and contains many commonly used covariance functions as special cases. We focus on using the linear mixed model formulation to express three covariance functions: product (separable), sum (linear), and product–sum. We discuss benefits and drawbacks of each covariance function and propose novel algorithms using Stegle eigendecompositions, a recursive application of the Sherman–Morrison–Woodbury formula, and Helmert–Wolf blocking to efficiently invert their covariance matrices, even when every spatial location is not observed at every time point. Via a simulation study and an analysis of temperature data in Oregon, USA, we assess model performance and computational efficiency of these covariance functions when estimated using restricted maximum likelihood (likelihood-based) and Cressie’s weighted least squares (semivariogram-based). We end by offering guidelines for choosing among combinations of the covariance functions and estimation methods based on properties of observed data and the desired balance between model performance and computational efficiency.

为了正确地描述时空随机过程，有必要了解该过程的依存结构。通常使用具有复杂协方差的单个随机误差来描述这种依赖性。代替使用单一随机误差方法，我们使用具有多个随机误差的线性混合模型来描述时空随机过程。每个随机误差都描述了协方差的特定质量。这种线性混合模型公式是通用的，直观的，并包含许多常用的协方差函数（作为特例）。我们专注于使用线性混合模型公式来表达三个协方差函数：乘积（可分离），和（线性）和乘积和。我们讨论了每个协方差函数的优缺点，并提出了使用Stegle特征分解的新颖算法，Sherman-Morrison-Woodbury公式和Helmert-Wolf块的递归应用可以有效地反转其协方差矩阵，即使在每个时间点都没有观察到每个空间位置时也是如此。通过对美国俄勒冈州的温度数据进行的仿真研究和分析，当使用受限最大似然（基于似然性）和Cressie加权最小二乘法（基于半变异函数）进行估算时，我们评估了这些协方差函数的模型性能和计算效率。我们最后提供了指导原则，可根据观察到的数据的属性以及模型性能与计算效率之间的期望平衡，在协方差函数和估计方法的组合之间进行选择。即使在每个时间点都没有观察到每个空间位置。通过对美国俄勒冈州的温度数据进行的仿真研究和分析，当使用受限最大似然（基于似然性）和Cressie加权最小二乘法（基于半变异函数）进行估算时，我们评估了这些协方差函数的模型性能和计算效率。我们最后提供了指导原则，可根据观察到的数据的属性以及模型性能与计算效率之间的期望平衡，在协方差函数和估计方法的组合之间进行选择。即使在每个时间点都没有观察到每个空间位置。通过对美国俄勒冈州的温度数据进行的仿真研究和分析，当使用受限最大似然（基于似然性）和Cressie加权最小二乘法（基于半变异函数）进行估算时，我们评估了这些协方差函数的模型性能和计算效率。我们最后提供了指导原则，可根据观测数据的属性以及模型性能与计算效率之间的期望平衡，在协方差函数和估计方法的组合之间进行选择。当使用受限最大似然（基于可能性）和Cressie加权最小二乘法（基于半变异函数）进行估算时，我们评估了这些协方差函数的模型性能和计算效率。我们最后提供了指导原则，可根据观测数据的属性以及模型性能与计算效率之间的期望平衡，在协方差函数和估计方法的组合之间进行选择。当使用受限最大似然（基于可能性）和Cressie加权最小二乘法（基于半变异函数）进行估算时，我们评估了这些协方差函数的模型性能和计算效率。我们最后提供了指导原则，可根据观测数据的属性以及模型性能与计算效率之间的期望平衡，在协方差函数和估计方法的组合之间进行选择。