We complete the proof of the upper bound \({\hat{\rho }}_3\le 10R\) for the regularity radius of Delone sets in three-dimensional Euclidean space. Namely, summing up the results obtained earlier, and adding the missing cases, we show that if all \(10R\)-clusters of a Delone set X in \({\mathbb {R}}^3\) with parameters (r, R) are equivalent, then X is regular (has a transitive symmetry group).

中文翻译：

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关于$$ {\ mathbb {R}} ^ 3 $$ R 3中的Delone集的规则半径

我们完成了三维欧氏空间中Delone集规则半径的上限\（{{hat {\ rho}} _ 3 \ le 10R \）的证明。即，总结先前获得的结果，并添加缺失的案例，我们表明，如果Delone的所有\（10R \） -集群在参数（r（\ r {\ mathbb {R}} ^ 3 \）中设置X，  R）是等价的，则X是规则的（具有传递对称组）。