Abstract

This paper concerns the modified fractional Korteweg-de Vries (modified fKdV) and fractional cubic nonlinear Schrödinger (fNLS) equations, with the dispersions $|D{|}^{\alpha }{\partial }_x$ and $|D{|}^{\alpha +1},$ respectively. We prove the global existence of small solutions for both the Cauchy problems to the modified fKdV and fNLS equations, with a modified scattering which has a logarithmic phase correction. Our results cover the full range $-1<\alpha <1,\hspace{0.5em}\alpha \ne 0$ for both the modified fKdV and fNLS equations.

中文翻译：

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修正分数阶 Korteweg-de Vries 和分数阶三次非线性薛定谔方程的小解的全局动力学

摘要

本文涉及修正分数 Korteweg-de Vries (修正 fKdV) 和分数三次非线性薛定谔 (fNLS) 方程，其离散度为 $|D{|}^{\alpha }{\partial }_X$ 和 $|D{|}^{\alpha +1},$分别。我们证明了修正的 fKdV 和 fNLS 方程的柯西问题的小解的全局存在，并使用具有对数相位校正的修正散射。我们的结果涵盖所有范围$-1<\alpha <1,\hspace{0.5em}\alpha \ne 0$ 对于修改后的 fKdV 和 fNLS 方程。