SIAM/ASA Journal on Uncertainty Quantification, Volume 9, Issue 2, Page 384-419, January 2021.
We analyze the convergence of a multilevel Markov chain Monte Carlo (MLMCMC) algorithm for the Bayesian estimation of solution functionals for linear, parabolic partial differential equations subject to a log-Gaussian uncertain diffusion coefficient. Precisely, our multilevel convergence analysis is for a time-independent, log-Gaussian diffusion coefficient and for observations which are assumed to be corrupted by additive, centered, Gaussian observation noise. The elliptic spatial part of the parabolic PDE is assumed to be neither uniformly coercive nor uniformly bounded in terms of the realizations of the unknown Gaussian random field. The pathwise, multilevel discretization in space and time is a standard, first order, Lagrangian simplicial finite element method in the spatial domain and a first order, implicit timestepping of backward Euler type ensuring good dissipation and unconditional stability, and resulting in first order convergence in terms of the spatial meshwidth and the timestep. The Markov chain Monte Carlo (MCMC) algorithms covered by our analysis comprise the standard independence sampler as well as various variants, such as pCN. We prove that the proposed MLMCMC algorithm delivers approximate Bayesian estimates of quantities of interest consistent to first order in the discretization parameter on the finest spatial/temporal discretization meshwidth and stepsize in overall work which scales essentially (i.e., up to terms which depend logarithmically on the discretization parameters) as that of one deterministic solve on the finest mesh. Our convergence analysis is based on the discretization-level dependent truncation of the increments, introduced first in [V. H. Hoang, J. H. Quek, and Ch. Schwab, Inverse Problems, 36 (2020), 035021] for the corresponding elliptic forward problems, which is an essential modification of the MLMCMC method developed for elliptic problems under uniform prior in [V. H. Hoang, Ch. Schwab, and A. M. Stuart, Inverse Problems, 29 (2013), 085010]. This modification is required to address measurability and integrability issues encountered in the Bayesian posterior density evaluated at consecutive discretization levels with respect to the Gaussian prior. Both independence and pCN samplers are analyzed in detail. Applicability of our analysis to other versions of MCMC is discussed.

中文翻译：

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高斯先验条件下抛物型偏微分方程贝叶斯反演的多层马尔可夫链蒙特卡罗方法。

SIAM / ASA不确定性量化期刊，第9卷，第2期，第384-419页，2021年1月。
我们分析了服从对数-高斯不确定扩散系数的线性，抛物线偏微分方程解函数的贝叶斯估计的多层马尔可夫链蒙特卡罗（MLMCMC）算法的收敛性。准确地说，我们的多级收敛分析是针对时间无关的对数高斯扩散系数，以及对于假定被加性，集中式高斯观测噪声破坏的观测值。就未知高斯随机场的实现而言，抛物线PDE的椭圆空间部分假定既不是均匀矫顽也不是均匀有界的。在空间和时间上按路径进行的多级离散化是空间域和一阶中的标准，一阶Lagrangian单纯形有限元方法，向后Euler类型的隐式时间步长确保了良好的耗散性和无条件的稳定性，并导致在空间网格宽度和时间步长方面的一阶收敛。我们的分析涵盖的马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）算法包括标准独立性采样器以及各种变体，例如pCN。我们证明了所提出的MLMCMC算法在最佳空间/时间离散化网格宽度上提供了与离散化参数中的一阶一致的感兴趣量的近似贝叶斯估计，并且在总体上逐步扩展了规模（即，取决于对数依赖于项的项）离散化参数）作为确定性求解的最佳网格。我们的收敛性分析基于增量的离散化级别相关的截断，该截断首先在[VH Hoang，JH Quek和Ch。Schwab，Inverse Problems，36（2020），035021]，对应于椭圆正向问题，这是在[VH Hoang，Ch。Schwab和AM Stuart，《逆问题》，第29卷，2013年，085010]。需要进行此修改来解决在相对于高斯先验的连续离散化水平上评估的贝叶斯后验密度中遇到的可度量性和可积性问题。独立性和pCN采样器都进行了详细分析。讨论了我们的分析对其他版本的MCMC的适用性。Inverse Problems，36（2020），035021]，对应于椭圆正向问题，这是在[VH Hoang，Ch。Schwab和AM Stuart，《逆问题》，第29卷，2013年，085010]。需要进行此修改来解决在相对于高斯先验的连续离散化水平上评估的贝叶斯后验密度中遇到的可度量性和可积性问题。独立性和pCN采样器都进行了详细分析。讨论了我们的分析对其他版本的MCMC的适用性。Inverse Problems，36（2020），035021]，对应于椭圆正向问题，这是在[VH Hoang，Ch。Schwab和AM Stuart，《逆问题》，第29卷，2013年，085010]。需要进行此修改来解决在相对于高斯先验的连续离散化水平上评估的贝叶斯后验密度中遇到的可度量性和可积性问题。独立性和pCN采样器都进行了详细分析。讨论了我们的分析对其他版本的MCMC的适用性。反问题，29（2013），085010]。需要进行此修改来解决在相对于高斯先验的连续离散化水平上评估的贝叶斯后验密度中遇到的可度量性和可积性问题。独立性和pCN采样器都进行了详细分析。讨论了我们的分析对其他版本的MCMC的适用性。反问题，29（2013），085010]。需要进行此修改来解决在相对于高斯先验的连续离散化水平上评估的贝叶斯后验密度中遇到的可度量性和可积性问题。独立性和pCN采样器都进行了详细分析。讨论了我们的分析对其他版本的MCMC的适用性。