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Values of multiple zeta functions with polynomial denominators at non-positive integers
International Journal of Mathematics ( IF 0.604 ) Pub Date : 2021-04-19 , DOI: 10.1142/s0129167x21500385
Driss Essouabri, Kohji Matsumoto

We study rather general multiple zeta functions whose denominators are given by polynomials. The main aim is to prove explicit formulas for the values of those multiple zeta functions at non-positive integer points. We first treat the case when the polynomials are power sums, and observe that some “trivial zeros” exist. We also prove that special values are sometimes transcendental. Then we proceed to the general case, and show an explicit expression of special values at non-positive integer points which involves certain period integrals. We give examples of transcendental values of those special values or period integrals. We also mention certain relations among Bernoulli numbers which can be deduced from our explicit formulas. Our proof of explicit formulas are based on the Euler–Maclaurin summation formula, Mahler’s theorem, and a Raabe-type lemma due to Friedman and Pereira.



中文翻译:

多项式分母为非正整数的多个 zeta 函数的值

我们研究了分母由多项式给出的相当一般的多 zeta 函数。主要目的是证明这些多个 zeta 函数在非正整数点处的值的明确公式。我们首先处理多项式为幂和的情况,并观察到存在一些“平凡零点”。我们还证明了特殊价值有时是超然的。然后我们继续一般情况,并在涉及某些周期积分的非正整数点处显示特殊值的显式表达式。我们给出了那些特殊值或周期积分的超越值的例子。我们还提到了可以从我们的显式公式中推导出来的伯努利数之间的某些关系。我们对显式公式的证明基于欧拉-麦克劳林求和公式,马勒定理,

更新日期:2021-06-10
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