It is shown that the number of irreducible quartic factors of the form $g(x)=x^4+a{x}^3+(11a+2)x^2-ax+1$ which divide the Hasse invariant of the Tate normal form $E_5$ in characteristic l is a simple linear function of the class number $h(-5l)$ of the field $\mathbb{Q}(\sqrt{-5l})$, when $l\equiv 2,3$ modulo 5. A similar result holds for irreducible quadratic factors of $g(x)$, when $l\equiv 1,4$ modulo 5. This implies a formula for the number of linear factors over ${\mathbb{F}}_p$ of the supersingular polynomial $s{s}_p^{(5⁎)}(x)$ corresponding to the Fricke group ${\mathrm{\Gamma }}_0^{⁎}(5)$.

中文翻译：

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Tate范式E ₅的Hasse不变量及其的类号$\mathbb{问}（\sqrt{-5升}）$

证明了形式的不可约四次因子的数量 $G（X）=X^4+\mathrm{一种}{X}^3+（11\mathrm{一种}+\mathrm{2个}）X^{\mathrm{2个}}-\mathrm{一种}X+\mathrm{1个}$ 划分了泰特范式的Hasse不变量 $E_5$在特征l中是类号的简单线性函数$H（-5升）$ 领域的 $\mathbb{问}（\sqrt{-5升}）$， 什么时候 $升\equiv \mathrm{2个}，3$ 模5。类似的结果适用于的不可约二次因子 $G（X）$， 什么时候 $升\equiv \mathrm{1个}，4$ 模5。这意味着一个公式，用于计算线性因子的数量。 ${\mathbb{F}}_p$ 超奇异多项式 $s{s}_p^{（5⁎）}（X）$ 对应于Fricke组 ${\mathrm{\Gamma }}_0^{⁎}（5）$。