For positive rank r elliptic curves $E(\mathbb{Q})$, we employ ideal class pairings$E(\mathbb{Q})\times E_{-D}(\mathbb{Q})\to \mathrm{CL}(-D),$ for quadratic twists $E_{-D}(\mathbb{Q})$ with a suitable “small y-height” rational point, to obtain explicit class number lower bounds that improve on earlier work by the authors. For the curves $E^{(a)}:y^2=x^3-a$, with rank $r(a)$, this gives$h(-D)\ge \frac{1}{10}\cdot \frac{|E_{\mathrm{tor}}(\mathbb{Q})|}{\sqrt{R_{\mathbb{Q}}(E)}}\cdot \frac{{\pi }^{\frac{r(a)}{2}}}{2^{r(a)}\mathrm{\Gamma }(\frac{r(a)}{2}+1)}\cdot \frac{\log {(D)}^{\frac{r(a)}{2}}}{\log \log D},$ representing a general improvement to the classical lower bound of Goldfeld, Gross and Zagier when $r(a)\ge 3$. We prove that the number of twists $E_{-D}^{(a)}(\mathbb{Q})$ with such a suitable point (resp. with such a point and rank ≥2 under the Parity Conjecture) is ${\gg }_{a,\epsilon }{X}^{\frac{1}{2}-\epsilon }$. We give infinitely many cases where $r(a)\ge 6$. These results can be viewed as an analogue of the classical estimate of Gouvêa and Mazur for the number of rank ≥2 quadratic twists, where in addition we obtain “log-power” improvements to the Goldfeld-Gross-Zagier class number lower bound.

对于正秩r椭圆曲线$E（\mathbb{问}）$，我们采用理想的班级配对$E（\mathbb{问}）\times E_{-d}（\mathbb{问}）\to \mathrm{CL}（-d），$ 用于二次扭曲 $E_{-d}（\mathbb{问}）$具有合适的“小y高度”有理点，以获得显式的类数下界，该下界在作者的早期工作中得到了改进。对于曲线$E^{（\mathrm{一种}）}：{ÿ}^{\mathrm{2个}}=X^3-\mathrm{一种}$，排名 $\mathrm{[R}（\mathrm{一种}）$，这给$H（-d）\ge \frac{\mathrm{1个}}{10}\cdot \frac{|E_{\mathrm{r}}（\mathbb{问}）|}{\sqrt{{\mathrm{[R}}_{\mathbb{问}}（E）}}\cdot \frac{{\pi }^{\frac{\mathrm{[R}（\mathrm{一种}）}{\mathrm{2个}}}}{{\mathrm{2个}}^{\mathrm{[R}（\mathrm{一种}）}\mathrm{\Gamma }（\frac{\mathrm{[R}（\mathrm{一种}）}{\mathrm{2个}}+\mathrm{1个}）}\cdot \frac{\mathrm{日志}{（d）}^{\frac{\mathrm{[R}（\mathrm{一种}）}{\mathrm{2个}}}}{\mathrm{日志}\mathrm{日志}d}，$ 表示对Goldfeld，Gross和Zagier的经典下限进行了总体改进 $\mathrm{[R}（\mathrm{一种}）\ge 3$。我们证明了转数$E_{-d}^{（\mathrm{一种}）}（\mathbb{问}）$ 具有这样一个合适的点（在奇偶性猜想下具有这样的点和秩≥2的残差）是 ${\gg }_{\mathrm{一种}，\epsilon }{X}^{\frac{\mathrm{1个}}{\mathrm{2个}}-\epsilon }$。我们给出了无数种情况，其中$\mathrm{[R}（\mathrm{一种}）\ge 6$。这些结果可以看作是古维阿和马祖尔对等级≥2的二次扭曲次数的经典估计的类似物，此外，我们还获得了戈德费尔德-格罗斯-扎吉尔类别数下限的“对数乘方”改进。