For n ≥ 3, we construct a class \(\left\{{{W_{n,{\pi _1},{\pi _2}}}} \right\}\) of n² × n² hermitian matrices by the permutation pairs and show that, for a pair {π₁, π₂} of permutations on (1, 2, …, n), \({{W_{n,{\pi _1},{\pi _2}}}}\) is an entanglement witness of the n ⊗ n system if {π₁, π₂} has the property (C). Recall that a pair {π₁, π₂} of permutations of (1, 2, …, n) has the property (C) if, for each i, one can obtain a permutation of (1, …, i − 1, i + 1, …, n) from (π₁ (1), …, π₁ (i − 1), π₁(i + 1), …, π₁(n)) and (π₂(1), …, π₂(i − 1), π₂(i + 1), …, π₂(n)). We further prove that \({{W_{n,{\pi _1},{\pi _2}}}}\) is not comparable with W_n,π, which is the entanglement witness constructed from a single permutation π; \({{W_{n,{\pi _1},{\pi _2}}}}\) is decomposable if π₁π₂ = id or π ²₁ = π ²₂ = id. For the low dimensional cases n ∈ {3, 4}, we give a sufficient and necessary condition on π₁, π₂ for \({{W_{n,{\pi _1},{\pi _2}}}}\) to be an entanglement witness. We also show that, for n ∈ {3, 4}, \({{W_{n,{\pi _1},{\pi _2}}}}\) is decomposable if and only if π₁π₂ = id or π ²₁ = π ²₂ ; = id; \({{W_{3,{\pi _1},{\pi _2}}}}\) is optimal if and only if (π₁, π₂) = (π, π²), where π = (2, 3,1). As applications, some entanglement criteria for states and some decomposability criteria for positive maps are established.

对于Ñ ≥3，构造一个类\（\左\ {{{W_ {N，{\ PI _1}，{\ PI _2}}}} \右\} \）的Ñ ² × Ñ ²埃尔米特矩阵由置换对和表明，对于一对{ π ₁，π ₂ }的排列上（1，2，...，ñ），\（{{W_ {N，{\ PI _1}，{\ PI _2}} }} \）是的缠结证人ñ ⊗ ñ系统如果{ π ₁，π ₂ }具有如下性质：（C）。回想一下，在一对{ π ₁，π ₂ 2的排列（1}，...，Ñ）具有以下属性：（C）如果，对于每个我，可以得到的置换（1，...，我- 1，我+ 1，...，Ñ）从（π ₁（1），...，π ₁（我- 1），π ₁（我+ 1），...，π ₁（ñ））及（π ₂（1），...，π ₂（我- 1），π ₂（我+ 1），...，π ₂（n））。我们进一步证明\（{{W_ {n，{\ pi _1}，{\ pi _2}}}} \）与W _n，π不具有可比性，W _n，π是由单个排列π构造的纠缠证人；\（{{{W_ N，{\ PI _1}，{\ PI _2}}}} \）可分解如果π ₁ π ₂ = ID或π ² ₁ = π ² ₂ = ID。对于低维例Ñ ∈{3,4}，我们给出的充分必要条件π ₁，π ₂为\（{{W_ {N，{\ PI _1}，{\ PI _2}}}} \ ）成为纠缠证人。我们还表明，对于Ñ ∈{3,4}， \（{{{W_ N，{\ PI _1}，{\ PI _2}}}} \）可分解当且仅当π ₁ π ₂ = ID或π ² ₁ = π ² ₂ ; = id; \（{{W_ {3 {\ PI _1}，{\ PI _2}}}} \）是最佳的，当且仅当（π ₁，π ₂）=（π，π ²），其中，π =（2 ，3,1）。作为应用，建立了一些状态的纠缠标准和正图的一些可分解性标准。