We prove a Freiheitssatz for one-relator products of torsion-free groups, where the relator has syllable length at most 8. This result has applications to equations over torsion-free groups: in particular a singular equation of syllable length at most 18 over a torsion-free group has a solution in some overgroup.

中文翻译：

---

关于无扭群上的奇异方程

我们证明了一个 Freiheitssatz 用于无扭群的单相关者产品，其中相关者最多有音节长度8. 这个结果适用于无扭群上的方程：特别是至多有一个音节长度的奇异方程18无扭群上的某个超群有解。