Let ${\mathfrak{g}}$ be a symmetrizable Kac–Moody algebra with associated Yangian $Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ and Yangian double $\textrm{D}Y_\hbar{\mathfrak{g}}$. An elementary result of fundamental importance to the theory of Yangians is that, for each $c\in{\mathbb{C}}$, there is an automorphism $\tau _c$ of $Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ corresponding to the translation $t\mapsto t+c$ of the complex plane. Replacing $c$ by a formal parameter $z$ yields the so-called formal shift homomorphism $\tau _z$ from $Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ to the polynomial algebra $Y_\hbar{\mathfrak{g}}[z]$. We prove that $\tau _z$ uniquely extends to an algebra homomorphism $\Phi _z$ from the Yangian double $\textrm{D}Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ into the $\hbar $-adic closure of the algebra of Laurent series in $z^{-1}$ with coefficients in the Yangian $Y_\hbar{\mathfrak{g}}$. This induces, via evaluation at any point $c\in{\mathbb{C}}^\times $, a homomorphism from $\textrm{D}Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ into the completion of the Yangian with respect to its grading. We show that each such homomorphism gives rise to an isomorphism between completions of $\textrm{D}Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ and $Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ and, as a corollary, we find that the Yangian $Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ can be realized as a degeneration of the Yangian double $\textrm{D}Y_\hbar{\mathfrak{g}}$. Using these results, we obtain a Poincaré–Birkhoff–Witt theorem for $\textrm{D}Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ applicable when ${\mathfrak{g}}$ is of finite type or of simply laced affine type.

中文翻译：

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Yangian 对偶的形式移位算子

令 ${\mathfrak{g}}$ 是一个对称的 Kac–Moody 代数，具有关联的 Yangian $Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 和 Yangian double $\textrm{D}Y_\hbar{\mathfrak{g} }$。对 Yangians 理论具有根本重要性的基本结果是，对于每个 $c\in{\mathbb{C}}$，存在 $Y_\hbar{\mathfrak{g}} 的自同构 $\tau _c$ $ 对应于复平面的平移 $t\mapsto t+c$。用形式参数 $z$ 替换 $c$ 产生所谓的形式移位同态 $\tau _z$ 从 $Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 到多项式代数 $Y_\hbar{\mathfrak{g }}[z]$。我们证明了 $\tau _z$ 唯一地扩展到一个代数同态 $\Phi _z$ 从 Yangian 双 $\textrm{D}Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 到 $\hbar $-adic 闭包$z^{-1}$ 中 Laurent 级数的代数，Yangian $Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 中的系数。这通过在任何点 $c\in{\mathbb{C}}^\times $ 的求值，从 $\textrm{D}Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 的同态性引入到 Yangian 的完成关于它的分级。我们证明每个这样的同态都会在 $\textrm{D}Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 和 $Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 的补全之间产生同构，并且作为推论，我们发现 Yangian $Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 可以实现为 Yangian double $\textrm{D}Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 的退化。使用这些结果，我们获得了适用于 $\textrm{D}Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 的 Poincaré-Birkhoff-Witt 定理，适用于 ${\mathfrak{g}}$ 是有限类型或简单的 laced仿射类型。从 $\textrm{D}Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 到 Yangian 完成度的同态。我们证明每个这样的同态都会在 $\textrm{D}Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 和 $Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 的补全之间产生同构，并且作为推论，我们发现 Yangian $Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 可以实现为 Yangian double $\textrm{D}Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 的退化。使用这些结果，我们获得了适用于 $\textrm{D}Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 的 Poincaré-Birkhoff-Witt 定理，适用于 ${\mathfrak{g}}$ 是有限类型或简单的 laced仿射类型。从 $\textrm{D}Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 到 Yangian 完成度的同态。我们证明每个这样的同态都会在 $\textrm{D}Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 和 $Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 的补全之间产生同构，并且作为推论，我们发现 Yangian $Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 可以实现为 Yangian double $\textrm{D}Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 的退化。使用这些结果，我们获得了适用于 $\textrm{D}Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 的 Poincaré-Birkhoff-Witt 定理，适用于 ${\mathfrak{g}}$ 是有限类型或简单的 laced仿射类型。我们发现 Yangian $Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 可以实现为 Yangian double $\textrm{D}Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 的退化。使用这些结果，我们获得了适用于 $\textrm{D}Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 的 Poincaré-Birkhoff-Witt 定理，适用于 ${\mathfrak{g}}$ 是有限类型或简单的 laced仿射类型。我们发现 Yangian $Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 可以实现为 Yangian double $\textrm{D}Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 的退化。使用这些结果，我们获得了适用于 $\textrm{D}Y_\hbar{\mathfrak{g}}$ 的 Poincaré-Birkhoff-Witt 定理，适用于 ${\mathfrak{g}}$ 是有限类型或简单的 laced仿射类型。