SIAM Journal on Computing, Volume 50, Issue 2, Page 602-635, January 2021.
We consider a classical $k$-center problem in trees. Let $T$ be a tree of $n$ vertices such that every vertex has a nonnegative weight. The problem is to find $k$ centers on the edges of $T$ such that the maximum weighted distance from all vertices to their closest centers is minimized. Megiddo and Tamir [SIAM J. Comput., 12 (1983), pp. 751--758] gave an algorithm that can solve the problem in $O(n\log^2 n)$ time by using Cole's parametric search. Since then it has been open for over three decades whether the problem can be solved in $O(n\log n)$ time. In this paper, we present an $O(n\log n)$ time algorithm for the problem and thus settle the open problem affirmatively.

中文翻译：

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树中$k$-中心问题的$O(n\log n)$-时间算法

SIAM Journal on Computing，第 50 卷，第 2 期，第 602-635 页，2021 年 1 月。
我们考虑树中的经典 $k$ 中心问题。令 $T$ 是一棵包含 $n$ 个顶点的树，使得每个顶点都具有非负权重。问题是在 $T$ 的边上找到 $k$ 中心，使得从所有顶点到它们最近的中心的最大加权距离最小化。Megiddo 和 Tamir [SIAM J. Comput., 12 (1983), pp. 751--758] 给出了一种算法，可以通过使用 Cole 的参数搜索在 $O(n\log^2 n)$ 时间内解决问题。从那时起，这个问题是否可以在 $O(n\log n)$ 时间内解决已经开放了三十多年。在本文中，我们针对该问题提出了 $O(n\log n)$ 时间算法，从而肯定地解决了开放问题。