We prove that if $A \subseteq [X,\,2X]$ and $B \subseteq [Y,\,2Y]$ are sets of integers such that gcd (a, b) ⩾ D for at least δ|A||B| pairs (a, b) ε A × B then $|A||B|{ \ll _{\rm{\varepsilon }}}{\delta ^{ - 2 - \varepsilon }}XY/{D^2}$ . This is a new result even when δ = 1. The proof uses ideas of Koukoulopoulos and Maynard and some additional combinatorial arguments.

中文翻译：

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GCD 的极端问题

我们证明如果$A \subseteq [X,\,2X]$和$B \subseteq [Y,\,2Y]$是整数集，使得 gcd (一，乙) ⩾D至少 δ|A||B| 对 (一，乙)ε A×乙然后$|A||B|{ \ll _{\rm{\varepsilon }}}{\delta ^{ - 2 - \varepsilon }}XY/{D^2}$. 即使 δ = 1，这也是一个新结果。证明使用了 Koukoulopoulos 和 Maynard 的思想以及一些额外的组合论证。