The input to the no-rainbow hypergraph coloring problem is a hypergraph $H$ where every hyperedge has $r$ nodes. The question is whether there exists an $r$-coloring of the nodes of $H$ such that all $r$ colors are used and there is no rainbow hyperedge -- i.e., no hyperedge uses all $r$ colors. The no-rainbow hypergraph $r$-coloring problem is known to be NP-complete for $r \geq 3$. The special case of $r=4$ is the complement of the phylogenetic decisiveness problem. Here we present a deterministic algorithm that solves the no-rainbow $r$-coloring problem in $O^*((r-1)^{(r-1)n/r})$ time and a randomized algorithm that solves the problem in $O^*((\frac{r}{2})^n)$ time.

中文翻译：

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无彩虹着色和系统发育决定性的精确算法

无彩虹超图着色问题的输入是超图$ H $，其中每个超边缘都有$ r $节点。问题是，是否存在$ H $节点的$ r $着色，使得所有$ r $颜色都被使用，并且没有Rainbow hyperedge —即，没有hyperedge使用所有$ r $颜色。已知无彩虹超图$ r $-着色问题对于$ r \ geq 3 $是NP完全的。$ r = 4 $的特殊情况是系统决定性问题的补充。在这里，我们提出一种确定性算法，可以解决$ O ^ *（（r-1）^ {{（r-1）n / r}）$时间内的无彩虹$ r $-着色问题，以及解决该问题的随机算法$ O ^ *（（（\ frac {r} {2}）^ n）$时间的问题。