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Fourier uniqueness in even dimensions [Mathematics]
Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America ( IF 9.412 ) Pub Date : 2021-04-13 , DOI: 10.1073/pnas.2023227118
Andrew Bakan, Haakan Hedenmalm, Alfonso Montes-Rodríguez, Danylo Radchenko, Maryna Viazovska

In recent work, methods from the theory of modular forms were used to obtain Fourier uniqueness results in several key dimensions (d=1,8,24), in which a function could be uniquely reconstructed from the values of it and its Fourier transform on a discrete set, with the striking application of resolving the sphere packing problem in dimensions d=8 and d=24. In this short note, we present an alternative approach to such results, viable in even dimensions, based instead on the uniqueness theory for the Klein–Gordon equation. Since the existing method for the Klein–Gordon uniqueness theory is based on the study of iterations of Gauss-type maps, this suggests a connection between the latter and methods involving modular forms. The derivation of Fourier uniqueness from the Klein–Gordon theory supplies conditions on the given test function for Fourier interpolation, which are hoped to be optimal or close to optimal.



中文翻译:

偶数维的傅立叶唯一性[数学]

在最近的工作中,采用了模块化形式理论的方法来获得几个关键维度的傅立叶唯一性结果(d=1,8,24),其中函数可以从其值唯一地重建,并且可以在离散集上进行傅立叶变换,并且在解决尺寸上的球体堆积问题方面引人注目 d=8d=24。在这篇简短的笔记中,我们基于Klein-Gordon方程的唯一性理论,提出了一种在均匀尺寸上可行的结果的替代方法。由于现有的Klein-Gordon唯一性理论方法是基于对高斯型图的迭代研究的,因此这暗示了后者与涉及模块化形式的方法之间的联系。从Klein-Gordon理论推导的傅里叶唯一性为傅里叶插值的给定测试函数提供了条件,希望这些条件是最优的或接近最优的。

更新日期:2021-04-08
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