The {\it matrix-chain multiplication} problem is a classic problem that is widely taught to illustrate dynamic programming. The textbook solution runs in $\theta(n^3)$ time. However, there is a complex $O(n \log n)$-time method \cite{HU82}, based on triangulating convex polygons, and a description without proofs or implementation detail, of a much simpler $O(n^2)$-time method \cite{YAO82}. There is also a linear-time approximation algorithm with a small worst-case error bound \cite{HU-SHING1981}. In this paper, we make five contributions both to theory and pedagogy: 1) We simplify the approach in \cite{YAO82}, and provide complete, correct proofs and implementation details, to establish the $O(n^2)$-time bound. We believe that this exposition is simple enough for classroom use. 2) We extend the $O(n^2)$-time bound to a natural class of polygon-triangulation problems that generalizes the original polygon-triangulation problem in \cite{HU82}. 3) We show that the worst-case running time of the method in \cite{YAO82}, and of our version, is $\Theta(n^2)$. 4) We show that in a natural variant of the original polygon-triangulation problem, the approximation method of \cite{HU-SHING1981} does not achieve the same error bound, but does achieve an error bound about twice the original bound. 5) We detail empirical testing, showing that on random data our variant runs in $\Theta(n \log n)$ time, while the approach in \cite{YAO82} empirically takes $\Theta(n^2)$ time. Software for these tests is posted on the web.

中文翻译：

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矩阵链乘法与多边形三角剖分的再探讨与推广

{\ it矩阵链乘法}问题是一个经典问题，已被广泛教授以说明动态编程。教科书解决方案的运行时间为$ \ theta（n ^ 3）$。但是，有一个复杂的$ O（n \ log n）$时间方法\ cite {HU82}，该方法基于三角凸多边形，并且没有证明或实现细节，但描述简单得多$ O（n ^ 2） $时间方法\ cite {YAO82}。还有一种线性时间近似算法，具有最小的最坏情况误差范围\ cite {HU-SHING1981}。在本文中，我们对理论和教育学做出了五点贡献：1）我们简化了\ cite {YAO82}中的方法，并提供完整，正确的证明和实现细节，以建立$ O（n ^ 2）$-time边界。我们相信，这个博览会对于课堂使用来说足够简单。2）我们将$ O（n ^ 2）$-time绑定到自然类的多边形三角剖分问题，该问题概括了\ cite {HU82}中原始的多边形三角剖分问题。3）我们证明\ cite {YAO82}中的方法和我们的版本在最坏情况下的运行时间为$ \ Theta（n ^ 2）$。4）我们证明，在原始多边形三角剖分问题的自然变体中，\ cite {HU-SHING1981}的逼近方法无法实现相同的误差范围，但是可以实现约为原始范围两倍的误差范围。5）我们详细地进行了经验测试，表明在随机数据上，我们的变体以$ \ Theta（n \ log n）$时间运行，而\ cite {YAO82}中的方法凭经验花费$ \ Theta（n ^ 2）$时间。这些测试的软件已发布在网络上。3）我们证明\ cite {YAO82}中的方法和我们的版本在最坏情况下的运行时间为$ \ Theta（n ^ 2）$。4）我们证明，在原始多边形三角剖分问题的自然变体中，\ cite {HU-SHING1981}的逼近方法无法实现相同的误差范围，但确实可以实现约为原始范围两倍的误差范围。5）我们详细地进行了经验测试，表明在随机数据上，我们的变体以$ \ Theta（n \ log n）$时间运行，而\ cite {YAO82}中的方法凭经验花费$ \ Theta（n ^ 2）$时间。这些测试的软件已发布在网络上。3）我们证明，在\ cite {YAO82}中以及我们的版本中，该方法的最坏情况下的运行时间为$ \ Theta（n ^ 2）$。4）我们证明，在原始多边形三角剖分问题的自然变体中，\ cite {HU-SHING1981}的逼近方法无法实现相同的误差范围，但确实可以实现约为原始范围两倍的误差范围。5）我们详细地进行了经验测试，表明在随机数据上，我们的变体以$ \ Theta（n \ log n）$时间运行，而\ cite {YAO82}中的方法凭经验花费$ \ Theta（n ^ 2）$时间。这些测试的软件已发布在网络上。但确实实现了大约两倍于原始界限的错误界限。5）我们详细地进行了经验测试，表明在随机数据上，我们的变体以$ \ Theta（n \ log n）$时间运行，而\ cite {YAO82}中的方法凭经验花费$ \ Theta（n ^ 2）$时间。这些测试的软件已发布在网络上。但确实实现了大约两倍于原始界限的错误界限。5）我们详细地进行了经验测试，表明在随机数据上，我们的变体以$ \ Theta（n \ log n）$时间运行，而\ cite {YAO82}中的方法凭经验花费$ \ Theta（n ^ 2）$时间。这些测试的软件已发布在网络上。