Galbrun's equation, which is a second order partial differential equation describing the evolution of a so-called Lagrangian displacement vector field, can be used to study acoustics in background flows as well as perturbations of astrophysical flows. Our starting point for deriving Galbrun's equation is linearized Euler's equations, which is a first order system of partial differential equations that describe the evolution of the so-called Eulerian flow perturbations. Given a solution to linearized Euler's equations, we introduce the Lagrangian displacement as the solution to a linear first order partial differential equation, where the Eulerian perturbation of the fluid velocity acts as a source term. Our Lagrangian displacement solves Galbrun's equation, provided it is regular enough and that the so-called no-resonance assumption holds. In the case that the background flow is steady and tangential to the domain boundary, we prove existence, uniqueness, and continuous dependence on data of solutions to an initial–boundary-value problem for linearized Euler's equations. For such background flows, we demonstrate that the Lagrangian displacement is well-defined, that the initial datum of the Lagrangian displacement can be chosen in order to fulfill the no-resonance assumption, and derive a classical energy estimate for (sufficiently regular solutions to) Galbrun's equation. Due to the presence of zeroth order terms of indefinite signs in the equations, the energy estimate allows solutions that grow exponentially with time.

Galbrun方程是描述所谓拉格朗日位移矢量场演化的二阶偏微分方程，可用于研究背景流中的声学以及天体物理流的扰动。推导Galbrun方程的起点是线性化的Euler方程，这是一阶偏微分方程组，用于描述所谓的欧拉流扰动的演化。给定线性化的Euler方程的解，我们引入拉格朗日位移作为线性一阶偏微分方程的解，其中流体速度的欧拉扰动充当源项。我们的拉格朗日位移解决了加布伦方程，只要它足够规则并且所谓的无共振假设成立。在背景流稳定且与域边界相切的情况下，我们证明了线性化Euler方程的初边值问题的解的存在性，唯一性和对数据的连续依赖性。对于这样的背景流，我们证明拉格朗日位移是定义明确的，可以选择拉格朗日位移的初始数据来满足无共振假设，并为（足够的正则解）导出经典的能量估计加布伦方程。由于方程中存在不定符号的零阶项，因此能量估计允许解随时间呈指数增长。在背景流稳定且与域边界相切的情况下，我们证明了线性化Euler方程的初边值问题的解的存在性，唯一性和对数据的连续依赖性。对于这样的背景流，我们证明拉格朗日位移是定义明确的，可以选择拉格朗日位移的初始数据来满足无共振假设，并为（足够的正则解）导出经典的能量估计加布伦方程。由于方程中存在不定符号的零阶项，因此能量估计允许解随时间呈指数增长。在背景流稳定且与域边界相切的情况下，我们证明了线性化Euler方程的初边值问题的解的存在性，唯一性和对数据的连续依赖性。对于这样的背景流，我们证明拉格朗日位移是定义明确的，可以选择拉格朗日位移的初始数据来满足无共振假设，并为（足够的正则解）导出经典的能量估计加布伦方程。由于方程中存在不定符号的零阶项，因此能量估计允许解随时间呈指数增长。以及对线性欧拉方程初边值问题解的数据的连续依赖。对于这样的背景流，我们证明拉格朗日位移是定义明确的，可以选择拉格朗日位移的初始数据来满足无共振假设，并为（足够的正则解）导出经典的能量估计加布伦方程。由于方程中存在不定符号的零阶项，因此能量估计允许解随时间呈指数增长。以及对线性欧拉方程初边值问题解的数据的连续依赖。对于这样的背景流，我们证明拉格朗日位移是定义明确的，可以选择拉格朗日位移的初始数据来满足无共振假设，并为（足够的正则解）导出经典的能量估计加布伦方程。由于方程中存在不定符号的零阶项，因此能量估计允许解随时间呈指数增长。并为加布伦方程式（足够正则解）得出经典的能量估计。由于方程中存在不定符号的零阶项，因此能量估计允许解随时间呈指数增长。并为加布伦方程式（足够正则解）得出经典的能量估计。由于方程中存在不定符号的零阶项，因此能量估计允许解随时间呈指数增长。