Abstract:We present a criterion for uniform in time convergence of the weak error of the Euler scheme for Stochastic Differential equations (SDEs). The criterion requires (i) exponential decay in time of the space-derivatives of the semigroup associated with the SDE and (ii) bounds on (some) moments of the Euler approximation. We show by means of examples (and counterexamples) how both (i) and (ii) are needed to obtain the desired result. If the weak error converges to zero uniformly in time, then convergence of ergodic averages follows as well. We also show that Lyapunov-type conditions are neither sufficient nor necessary in order for the weak error of the Euler approximation to converge uniformly in time and clarify relations between the validity of Lyapunov conditions, (i) and (ii). Conditions for (ii) to hold are studied in the literature. Here we produce sufficient conditions for (i) to hold. The study of derivative estimates has attracted a lot of attention, however not many results are known in order to guarantee exponentially fast decay of the derivatives. Exponential decay of derivatives typically follows from coercive-type conditions involving the vector fields appearing in the equation and their commutators; here we focus on the case in which such coercive-type conditions are non-uniform in space. To the best of our knowledge, this situation is unexplored in the literature, at least on a systematic level. To obtain results under such space-inhomogeneous conditions we initiate a pathwise approach to the study of derivative estimates for diffusion semigroups and combine this pathwise method with the use of Large Deviation Principles.

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中文翻译：

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SDE的Euler方法的弱误差的时间估计均匀，以及扩散半群的导数估计的逐步方法

摘要：我们为随机微分方程（SDE）的Euler方案的弱误差提供了时间均匀收敛的准则。该准则要求（i）与SDE关联的半群的空间导数在时间上的指数衰减，以及（ii）欧拉逼近的（某些）矩上的界。我们通过示例（和反例）来说明如何同时需要（i）和（ii）才能获得所需的结果。如果弱误差在时间上均匀收敛到零，那么遍历平均值也将收敛。我们还表明，为了使Euler逼近的弱误差在时间上均匀收敛并阐明Lyapunov条件（i）和（ii）的有效性之间的关系，Lyapunov型条件既不充分，也不必要。（ii）持有的条件已在文献中进行了研究。在这里，我们为（i）成立提供了足够的条件。导数估计的研究引起了很多关注，但是，为了保证导数的指数快速衰减，已知的结果并不多。导数的指数衰减通常来自强制性条件，其中涉及方程及其换向器中出现的矢量场。在这里，我们关注这种强制类型条件在空间上不均匀的情况。据我们所知，这种情况至少在系统的层面上还没有在文献中得到探讨。为了在这种空间非均匀条件下获得结果，我们启动了一种路径方法来研究扩散半群的导数估计，并将这种路径方法与大偏差原理结合使用。导数估计的研究引起了很多关注，但是，为了保证导数的指数快速衰减，已知的结果并不多。导数的指数衰减通常来自强制性条件，其中涉及方程及其换向器中出现的矢量场。在这里，我们关注这种强制类型条件在空间上不均匀的情况。据我们所知，这种情况至少在系统的层面上还没有在文献中得到探讨。为了在这种空间非均匀条件下获得结果，我们启动了一种路径方法来研究扩散半群的导数估计，并将此路径方法与大偏差原理结合使用。导数估计的研究引起了很多关注，但是，为了保证导数的指数快速衰减，已知的结果并不多。导数的指数衰减通常来自强制性条件，其中涉及方程及其换向器中出现的矢量场。在这里，我们关注这种强制类型条件在空间上不均匀的情况。据我们所知，这种情况至少在系统的层面上还没有在文献中得到探讨。为了在这种空间非均匀条件下获得结果，我们启动了一种路径方法来研究扩散半群的导数估计，并将这种路径方法与大偏差原理结合使用。然而，为了保证导数的指数快速衰减，已知的结果并不多。导数的指数衰减通常来自强制性条件，其中涉及方程及其换向器中出现的矢量场。在这里，我们关注这种强制类型条件在空间上不均匀的情况。据我们所知，这种情况至少在系统的层面上还没有在文献中得到探讨。为了在这种空间非均匀条件下获得结果，我们启动了一种路径方法来研究扩散半群的导数估计，并将此路径方法与大偏差原理结合使用。然而，为了保证导数的指数快速衰减，已知的结果并不多。导数的指数衰减通常来自强制性条件，其中涉及方程及其换向器中出现的矢量场。在这里，我们关注这种强制类型条件在空间上不均匀的情况。据我们所知，这种情况至少在系统的层面上还没有在文献中得到探讨。为了在这种空间非均匀条件下获得结果，我们启动了一种路径方法来研究扩散半群的导数估计，并将此路径方法与大偏差原理结合使用。导数的指数衰减通常来自强制性条件，其中涉及方程及其换向器中出现的矢量场。在这里，我们关注这种强制类型条件在空间上不均匀的情况。据我们所知，这种情况至少在系统的层面上还没有在文献中得到探讨。为了在这种空间非均匀条件下获得结果，我们启动了一种路径方法来研究扩散半群的导数估计，并将此路径方法与大偏差原理结合使用。导数的指数衰减通常来自强制性条件，其中涉及方程及其换向器中出现的矢量场。在这里，我们关注这种强制类型条件在空间上不均匀的情况。据我们所知，这种情况至少在系统的层面上还没有在文献中得到探讨。为了在这种空间非均匀条件下获得结果，我们启动了一种路径方法来研究扩散半群的导数估计，并将此路径方法与大偏差原理结合使用。

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