SIAM Journal on Computing, Volume 50, Issue 2, Page 509-554, January 2021.
We present an explicit and efficient construction of additively weighted Voronoi diagrams on planar graphs. Let $G$ be a planar graph with $n$ vertices and $b$ sites that lie on a constant number of faces. We show how to preprocess $G$ in $\tilde O(nb^2)$ time so that one can compute any additively weighted Voronoi diagram for these sites in $\tilde O(b)$ time. We use this construction to compute the diameter of a directed planar graph with real arc lengths in $\tilde{O}(n^{5/3})$ time. This improves the recent breakthrough result of Cabello [SODA 2017, SIAM, Philadelphia, 2017, pp. 2143--2152], both by improving the running time (from $\tilde{O}(n^{11/6})$), and by providing a deterministic algorithm. It is in fact the first truly subquadratic deterministic algorithm for this problem. Our use of Voronoi diagrams to compute the diameter follows that of Cabello, but he used abstract Voronoi diagrams, which makes his diameter algorithm more involved, more expensive, and randomized. As in Cabello's work, our algorithm can compute, for every vertex $v$, both the farthest vertex from $v$ (i.e., the eccentricity of $v$), and the sum of distances from $v$ to all other vertices. Hence, our algorithm can also compute the radius, median, and Wiener index (sum of all pairwise distances) of a planar graph within the same time bounds. Our construction of Voronoi diagrams for planar graphs is of independent interest.

中文翻译：

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平面图上的 Voronoi 图，以及在确定性 $\tilde{O}(n^{5/3})$ 时间计算直径

SIAM Journal on Computing，第 50 卷，第 2 期，第 509-554 页，2021 年 1 月。
我们在平面图上提出了显式和有效的加法加权 Voronoi 图的构造。令 $G$ 是一个平面图，其中包含 $n$ 个顶点和 $b$ 个站点，这些站点位于恒定数量的面上。我们展示了如何在 $\tilde O(nb^2)$ 时间内对 $G$ 进行预处理，以便可以在 $\tilde O(b)$ 时间内计算这些站点的任何加法加权 Voronoi 图。我们使用这种构造来计算 $\tilde{O}(n^{5/3})$ 时间内具有真实弧长的有向平面图的直径。这改进了 Cabello [SODA 2017, SIAM, Philadelphia, 2017, pp. 2143--2152] 的最近突破性结果，两者都通过改进运行时间（来自 $\tilde{O}(n^{11/6})$ )，并通过提供确定性算法。事实上，它是解决这个问题的第一个真正的次二次确定性算法。我们使用 Voronoi 图来计算直径遵循 Cabello，但他使用了抽象的 Voronoi 图，这使得他的直径算法更复杂、更昂贵和随机化。正如在 Cabello 的工作中，我们的算法可以为每个顶点 $v$ 计算离 $v$ 最远的顶点（即 $v$ 的偏心率），以及从 $v$ 到所有其他顶点的距离总和。因此，我们的算法还可以在相同的时间范围内计算平面图的半径、中位数和维纳指数（所有成对距离的总和）。我们为平面图构建的 Voronoi 图具有独立的意义。距离 $v$ 最远的顶点（即 $v$ 的偏心率），以及 $v$ 到所有其他顶点的距离总和。因此，我们的算法还可以在相同的时间范围内计算平面图的半径、中值和维纳指数（所有成对距离的总和）。我们为平面图构建的 Voronoi 图具有独立的意义。距离 $v$ 最远的顶点（即 $v$ 的偏心率），以及 $v$ 到所有其他顶点的距离总和。因此，我们的算法还可以在相同的时间范围内计算平面图的半径、中位数和维纳指数（所有成对距离的总和）。我们为平面图构建的 Voronoi 图具有独立的意义。