We present a construction of $C^1$ piecewise quadratic hierarchical bases of Lagrange type on arbitrary polygonal domains $\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^2$. Properly normalized, these bases are Riesz bases for Sobolev spaces $H^s(\mathrm{\Omega })$, with $s\in (1,\frac{5}{2})$. The method is applicable to arbitrary initial triangulations of polygonal domains, and does not require a checkerboard quadrangulation needed for earlier $C^1$ cubic hierarchical Lagrange bases. Homogeneous boundary conditions can be taken into account in a natural way, and lead to Riesz bases for Sobolev spaces $H_0^s(\mathrm{\Omega })$, $s\in (1,5/2)\setminus \{3/2\}$, and $H_{00}^{3/2}(\mathrm{\Omega })$.

中文翻译：

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C ¹分段二次分层基数

我们提出一个建筑 $C^{\mathrm{1个}}$ 任意多边形域上Lagrange类型的分段二次分层基 $\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{[R}}^{\mathrm{2个}}$。正确归一化，这些基是Sobolev空间的Riesz基$H^s（\mathrm{\Omega }）$， 和 $s\in （\mathrm{1个}，\frac{5}{\mathrm{2个}}）$。该方法适用于多边形域的任意初始三角剖分，并且不需要较早版本需要的棋盘格三角剖分$C^{\mathrm{1个}}$立方分层Lagrange基地。可以自然地考虑齐次边界条件，并得出Sobolev空间的Riesz基$H_0^s（\mathrm{\Omega }）$， $s\in （\mathrm{1个}，5/\mathrm{2个}）\setminus \{3/\mathrm{2个}\}$， 和 $H_{00}^{3/\mathrm{2个}}（\mathrm{\Omega }）$。