ABSTRACT

In this work, we will study a Bessel potential spaces $W_{\alpha }^{s,p}\left({\mathbb{R}}_{+}^n\right)$, ($s\in \mathbb{R},1\le p<+\mathrm{\infty },\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)\in {\mathbb{R}}^n,{\alpha }_1>-\frac{1}{2},\dots ,{\alpha }_n>-\frac{1}{2}$) associated with the Poly-axially operator ${\mathrm{\Delta }}_{\alpha }$ and their properties. We define the Sobolev-type spaces $E_{\alpha }^{m,p}\left({\mathbb{R}}_{+}^n\right)(m\in \mathbb{N},0\in \mathbb{N},1\le p<+\mathrm{\infty }$) and we prove an analogue of Calderón's theorem for Fourier–Bessel transform. We define the nonlinear Bessel potentials associated with a measure ν and the $L_{\alpha }^p$-capacity. Finally, we establish a classical problem of existence of an extremal function for the $L_{\alpha }^p$-capacity.

中文翻译：

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与多轴算子相关的线性和非线性贝塞尔势

摘要

在这项工作中，我们将研究贝塞尔潜在空间 ${\mathrm{w\; ^}}_{\alpha }^{s，p}（{\mathbb{[R}}_{+}^{ñ}）$，（$s\in \mathbb{[R}，\mathrm{1个}\le p<+\mathrm{\infty }，\alpha =（{\alpha }_{\mathrm{1个}}，\dots ，{\alpha }_{ñ}）\in {\mathbb{[R}}^{ñ}，{\alpha }_{\mathrm{1个}}>-\frac{\mathrm{1个}}{\mathrm{2个}}，\dots ，{\alpha }_{ñ}>-\frac{\mathrm{1个}}{\mathrm{2个}}$）与多轴算子相关 ${\mathrm{\Delta }}_{\alpha }$及其属性。我们定义Sobolev型空间${Ë}_{\alpha }^{米，p}（{\mathbb{[R}}_{+}^{ñ}）（米\in \mathbb{ñ}，0\in \mathbb{ñ}，\mathrm{1个}\le p<+\mathrm{\infty }$），我们证明了Calderón定理的傅里叶-贝塞尔变换定理的类似物。我们定义了与测度ν相关的非线性贝塞尔电位和${\mathrm{大号}}_{\alpha }^p$-容量。最后，我们建立了一个极值函数存在的经典问题。${\mathrm{大号}}_{\alpha }^p$-容量。