Within archimedean ℓ-groups, “G ∈ SW^∗” means there are H with strong unit (H ∈ W^∗) and an embedding G ≤ H. A. Theorem (6.1). For X a Tychonoff space (or completely regular locale), C(X) ∈ SW^∗ iff X is pseudocompact (which means C(X) ∈ W^∗). But any G ∈ SW^∗ embeds into various C(X), and any C(X) contains many H ∈ W^∗. We define cardinal invariants \(\mathfrak {b}G\), \(\mathfrak {d}G\), λG which generalize respectively, the bounding and dominating numbers for \(\mathbb {R}^{\mathbb {N}}\), \(\mathfrak {b}\) and \(\mathfrak {d}\), and the π-weight of a topological space. B. Theorem (6.3, 7.5). SupposeG ≤ C(X), and X contains densely \(\bigcup _{I} X_{i}\), the X_i compact. Then G ∈ SW^∗ if either (|I| = ω and \(\mathfrak {d}G < \mathfrak {b}\)) or (\(|I| < \mathfrak {b}\) and \(\mathfrak {d}G = \omega \)). This “\(\omega , \mathfrak {b}\) symmetry” fades a bit in the following, where \(\mathfrak {p}\) is the pseudo-intersection number for \(\mathbb {R}^{\mathbb {N}}\) (\(\mathfrak {p} \le \mathfrak {b}\), with = under Martin’s Axiom). C. Theorem (8.2). G ∈ SW^∗ if either \((\mathfrak {d}G = \omega \) and \(\lambda G < \mathfrak {b}\)) or (\(\mathfrak {d}G < \mathfrak {p}\) andλG = ω). Examples (§9) show limits on the hypotheses in B and C.

内阿基米德ℓ -基团，“ G ^ ∈小号W¯¯ ^* ”的意思有ħ具有很强的单元（ħ ∈ w ^ ^*）和一个嵌入ģ ≤ ħ。A.定理（6.1）。 对于 X 一吉洪诺夫空间（或完全正区域），Ç（X）∈小号W¯¯ ^* 当且仅当 X 是pseudocompact（这意味着 Ç（X）∈ w ^ ^*）。但是，任何摹∈小号w ^ ^*嵌入到各种Ç（X），以及任何Ç（X）含有许多ħ ∈ w ^ ^*。我们定义基数不变量\（\ mathfrak {B} g ^ \） ，\（\ mathfrak {d} g ^ \） ，λ ģ分别一概而论，边界和用于控制数\（\ mathbb {R} ^ {\ mathbb { N}} \），\（\ mathfrak {b} \）和\（\ mathfrak {d} \）以及拓扑空间的π权重。B.定理（6.3，7.5）。 假设ģ ≤ Ç（X），并且 X 包含密集的 \（\ bigcup _ {I} X_ {i} \），即 X _i 压缩。然后 ģ ∈小号W¯¯ ^* 如果任一（|我| = ω 和 \（\ mathfrak {d} g ^ <\ mathfrak {B} \） ）或（\（| I | <\ mathfrak {B} \） 和 \（ \ mathfrak {d} G = \ omega \））。这种“ \（\ omega，\ mathfrak {b} \）对称性”在下面逐渐淡出，其中\（\ mathfrak {p} \）是\（\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}} \）（\（\ mathfrak {p} \ le \ mathfrak {b} \），在Martin's Axiom下带有=）。C.定理（8.2）。 ģ ∈小号W¯¯ ^* 如果任 \（（\ mathfrak {d} G = \欧米加\） 和 \（\拉姆达ģ<\ mathfrak {B} \） ）或（\（\ mathfrak {d} g ^ <\ mathfrak { p} \） 和λ ģ = ω）。示例（第9节）显示了B和C中假设的限制。