In (Compos. Math. 152(7): 1333–1384, 2016), Berest and Samuelson proposed a conjecture that the Kauffman bracket skein module of any knot in \(S^3\) carries a natural action of a rank 1 double-affine Hecke algebra \(SH_{q,t_1, t_2}\) depending on 3 parameters \(q, t_1, t_2\). As a consequence, for a knot K satisfying this conjecture, we defined a three-variable polynomial invariant \(J^K_n(q,t_1,t_2)\) generalizing the classical coloured Jones polynomials \(J^K_n(q)\). In this paper, we give explicit formulas and provide a quantum group interpretation for the polynomials \(J^K_n(q,t_1,t_2)\). Our formulas generalize the so-called cyclotomic expansion of the classical Jones polynomials constructed by Habiro (Invent. Math. 171(1): 1–81, 2008) : as in the classical case, they imply the integrality of \(J^K_n(q,t_1,t_2)\) and, in fact, make sense for an arbitrary knot K independent of whether or not it satisfies the conjecture of Berest and Samuelson (Compos. Math. 152(7): 1333–1384, 2016). When one of the Hecke deformation parameters is set to be 1, we show that the coefficients of the (generalized) cyclotomic expansion of \(J^K_n(q,t_1)\) are expressed in terms of Macdonald orthogonal polynomials.

在（Compos。Math。152（7）：1333–1384，2016）中，Berest和Samuelson提出了一个猜想，即\（S ^ 3 \）中任何一个结的Kauffman支架绞线模块都具有自然秩为1 double的作用。 -affine Hecke代数\（SH_ {q，t_1，t_2} \）取决于3个参数\（q，t_1，t_2 \）。因此，对于满足该猜想的结K，我们定义了一个三变量多项式不变量\（J ^ K_n（q，t_1，t_2）\），将经典有色琼斯多项式\（J ^ K_n（q）\）推广。在本文中，我们给出了明确的公式，并提供了多项式\（J ^ K_n（q，t_1，t_2）\）的量子组解释。我们的公式概括了Habiro构造的经典Jones多项式的所谓的原子级展开（Invent。Math。171（1）：1–81，2008）：与经典情况一样，它们隐含\（J ^ K_n （q，t_1，t_2）\），实际上，对于任意结K，无论它是否满足Berest和Samuelson的猜想都有意义（Compos。Math。152（7）：1333–1384，2016） 。当将Hecke变形参数之一设置为1时，我们表明\（J ^ K_n（q，t_1）\）的（广义）环扩张的系数用Macdonald正交多项式表示。