In this article, we propose a new variant of the family traveling salesman problem (FTSP). The FTSP is an NP-hard problem that generalizes the traveling salesman problem. In the FTSP, the set of cities is partitioned into several families and one wants to find the minimum cost route that visits a given number of cities in each family. A new variant arises by introducing incompatibilities between families, that is, cities from incompatible families cannot be visited in the same route, and it is called the FTSP with incompatibility constraints (FTSP-IC). We propose compact and non-compact mixed integer linear programming models for the FTSP-IC where the incompatibility constraints are modeled by defining paths in a compatibility graph for each family. Additionally, we present a set of valid inequalities motivated by the incompatible families. The non-compact models and the valid inequalities were tested using a branch-and-cut framework. To evaluate the models we generated incompatibility matrices for benchmark instances of the FTSP, which are available in the website http://familytsp.rd.ciencias.ulisboa.pt/. With the branch-and-cut algorithm, we were able to obtain the optimal value of instances with up to 127 nodes. We also developed an ant colony optimization (ACO) algorithm and an iterated local search algorithm (ILS) to address the largest sized instances. Both metaheuristics are able to provide solutions for instances that the branch-and-cut algorithm cannot address and to improve the majority of the upper bounds obtained by the branch-and-cut algorithm in less computational time.

中文翻译：

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具有不相容约束的家庭旅行商问题

在本文中，我们提出了家庭旅行商问题 (FTSP) 的新变体。FTSP 是一个 NP-hard 问题，可以概括旅行商问题。在 FTSP 中，城市集合被划分为几个家庭，人们想要找到访问每个家庭中给定数量城市的最低成本路线。通过引入家庭之间的不兼容性，出现了一个新的变体，即不能在同一条路线上访问来自不兼容家庭的城市，它被称为具有不兼容约束的 FTSP（FTSP-IC）。我们为 FTSP-IC 提出了紧凑型和非紧凑型混合整数线性规划模型，其中不兼容约束通过在每个系列的兼容性图中定义路径来建模。此外，我们提出了一组由不相容的家庭引发的有效不平等。非紧凑模型和有效的不等式使用分支和切割框架进行测试。为了评估模型，我们为 FTSP 的基准实例生成了不兼容矩阵，这些矩阵可在网站 http://familytsp.rd.ciencias.ulisboa.pt/ 中找到。使用分支切割算法，我们能够获得最多 127 个节点的实例的最优值。我们还开发了蚁群优化 (ACO) 算法和迭代局部搜索算法 (ILS) 来解决最大尺寸的实例。两种元启发式算法都能够为分支剪切算法无法解决的实例提供解决方案，并能够在更少的计算时间内改进分支剪切算法获得的大部分上限。为了评估模型，我们为 FTSP 的基准实例生成了不兼容矩阵，这些矩阵可在网站 http://familytsp.rd.ciencias.ulisboa.pt/ 中找到。使用分支切割算法，我们能够获得最多 127 个节点的实例的最优值。我们还开发了蚁群优化 (ACO) 算法和迭代局部搜索算法 (ILS) 来解决最大尺寸的实例。两种元启发式算法都能够为分支剪切算法无法解决的实例提供解决方案，并能够在更少的计算时间内改进分支剪切算法获得的大部分上限。为了评估模型，我们为 FTSP 的基准实例生成了不兼容矩阵，这些矩阵可在网站 http://familytsp.rd.ciencias.ulisboa.pt/ 中找到。使用分支切割算法，我们能够获得最多 127 个节点的实例的最优值。我们还开发了蚁群优化 (ACO) 算法和迭代局部搜索算法 (ILS) 来解决最大尺寸的实例。两种元启发式算法都能够为分支剪切算法无法解决的实例提供解决方案，并能够在更少的计算时间内改进分支剪切算法获得的大部分上限。我们能够获得最多 127 个节点的实例的最佳值。我们还开发了蚁群优化 (ACO) 算法和迭代局部搜索算法 (ILS) 来解决最大尺寸的实例。两种元启发式算法都能够为分支剪切算法无法解决的实例提供解决方案，并能够在更少的计算时间内改进分支剪切算法获得的大部分上限。我们能够获得最多 127 个节点的实例的最佳值。我们还开发了蚁群优化 (ACO) 算法和迭代局部搜索算法 (ILS) 来解决最大尺寸的实例。两种元启发式算法都能够为分支剪切算法无法解决的实例提供解决方案，并能够在更少的计算时间内改进分支剪切算法获得的大部分上限。