SIAM Journal on Optimization, Volume 31, Issue 1, Page 945-971, January 2021.
We consider linear fractional programming problems in a form of which the linear fractional program and its stochastic and distributionally robust counterparts with finite support are special cases. We introduce a novel reformulation that involves differences of square terms in the constraint, subsequently using a piecewise linear approximation for the concave part. Using the resulting second order cone programs (SOCPs), we develop a solution algorithm in the branch and bound framework. Our method iteratively refines the piecewise linear approximations by dividing hyper-rectangles and solves SOCPs to obtain lower bounds for the sub-hyper-rectangles. We derive a bound on the optimality gap as a function of the approximation errors at the iterate and prove that the number of iterations to attain an $\epsilon$-optimal solution is in the order of $\mathcal{O}(\sqrt{\epsilon})$. Numerical experiments show that the proposed algorithm scales better than state-of-the-art linear-programming-based algorithms and commercial solvers to solve linear fractional programs. Specifically, the proposed algorithm achieves two or more digits of accuracy in significantly less time than the time required by the known algorithms on medium to larger size problem instances. Experimental results with Wasserstein ambiguity sets reveal that our reformulation-based approach solves small size distributionally robust linear fractional programs, with the cardinality of support up to 25.

中文翻译：

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线性分数阶规划的求解方法及其随机二阶锥逼近

SIAM优化杂志，第31卷，第1期，第945-971页，2021年1月。
我们考虑线性分数规划问题的一种形式，其中线性分数规划及其在有限支持下的随机和分布鲁棒对应物是特殊情况。我们介绍了一种新颖的公式，该公式涉及约束中平方项的差异，随后对凹部使用分段线性逼近。使用生成的二阶锥程序（SOCP），我们在分支和绑定框架中开发了一种求解算法。我们的方法通过划分超矩形迭代地细化分段线性逼近，并求解SOCP以获得次超矩形的下界。我们根据迭代时近似误差的函数得出最优缺口的界限，并证明获得$ \ epsilon $-最优解的迭代次数约为$ \ mathcal {O}（\ sqrt { \ epsilon}）$。数值实验表明，与基于线性规划的最新算法和用于求解线性分数程序的商用求解器相比，所提出的算法具有更好的可扩展性。具体而言，所提出的算法在中型到大型问题实例上的已知时间所需的时间大大少于已知算法所需的时间，从而可以达到两位数或更多位数的精度。使用Wasserstein模糊度集的实验结果表明，我们基于重构的方法可解决小规模分布鲁棒线性分数程序，支持基数最多为25。数值实验表明，与基于线性规划的最新算法和用于求解线性分数程序的商用求解器相比，所提出的算法具有更好的可扩展性。具体而言，所提出的算法在中型到大型问题实例上的已知时间所需的时间大大少于已知算法所需的时间，从而可以达到两位数或更多位数的精度。使用Wasserstein模糊度集的实验结果表明，我们基于重构的方法可解决小规模分布鲁棒线性分数程序，支持基数最多为25。数值实验表明，与基于线性规划的最新算法和用于求解线性分数程序的商用求解器相比，所提出的算法具有更好的可扩展性。具体而言，所提出的算法在中型到大型问题实例上的已知时间所需的时间大大少于已知算法所需的时间，从而可以达到两位数或更多位数的精度。使用Wasserstein模糊度集的实验结果表明，我们基于重构的方法可解决小规模分布鲁棒线性分数程序，支持基数最多为25。与已知算法在中型到大型问题实例上所需的时间相比，所提出的算法在显着更少的时间内获得了两位或更多位的精度。使用Wasserstein模糊度集的实验结果表明，我们基于重构的方法可解决小规模分布鲁棒线性分数程序，支持基数最多为25。与已知算法在中型到大型问题实例上所需的时间相比，所提出的算法在显着更少的时间内获得了两位或更多位的精度。Wasserstein模糊度集的实验结果表明，我们基于重构的方法可解决小规模分布鲁棒线性分数程序，支持基数最多为25。