The present paper investigates an optimal reinsurance-investment problem with Hyperbolic Absolute Risk Aversion (HARA) utility. The paper is distinguished from other literature by taking into account the interests of both an insurer and a reinsurer. The insurer is allowed to purchase reinsurance from the reinsurer. Both the insurer and the reinsurer are assumed to invest in one risk-free asset and one risky asset whose price follows Heston's SV model. Our aim is to seek optimal investment-reinsurance strategies to maximize the expected HARA utility of the insurer's and the reinsurer's terminal wealth. In the utility theory, HARA utility consists of power utility, exponential utility and logarithmic utility as special cases. In addition, HARA utility is seldom studied in the optimal investment and reinsurance problem due to its sophisticated expression. In this paper, we choose HARA utility as the risky preference of the insurer. Due to the complexity of the structure of the solution to the original Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation, we use Legendre transform to change the original non-linear HJB equation into its linear dual one, whose solution is easy to conjecture in the case of HARA utility. By calculations and deductions, we obtain the closed-form solutions of optimal investment-reinsurance strategies. Moreover, some special cases are also discussed in detail. Finally, some numerical examples are presented to illustrate the impacts of our model parameters (e.g., interest and volatility) on the optimal reinsurance-investment strategies.

中文翻译：

---

Hestons SV模型下的保险公司和再保险公司的最佳再保险和投资策略：HARA效用和Legendre变换

本文研究了利用双曲线绝对风险规避（HARA）效用的最优再保险投资问题。本文通过兼顾保险人和再保险人的利益与其他文献区分开来。允许保险人向再保险人购买再保险。假定保险人和再保险人都投资于一种无风险资产和一种其价格遵循Heston的SV模型的风险资产。我们的目标是寻求最佳的投资再保险策略，以最大程度地提高保险人和再保险人的最终财富的预期HARA效用。在效用理论中，HARA效用包括幂效用，指数效用和对数效用。此外，由于其复杂的表达方式，很少在最佳投资和再保险问题中研究HARA公用事业。在本文中，我们选择HARA效用作为保险公司的风险偏好。由于原始Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程解的结构复杂，我们使用Legendre变换将原始非线性HJB方程更改为其线性对偶方程，其解易于在方程中推测。 HARA实用程序的案例。通过计算和推论，我们获得了最优投资再保险策略的封闭式解决方案。此外，还将详细讨论一些特殊情况。最后，通过一些数值例子说明了我们的模型参数（例如，利率和波动性）对最优再保险投资策略的影响。我们选择HARA效用作为保险公司的风险偏好。由于原始Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程解的结构复杂，我们使用Legendre变换将原始非线性HJB方程更改为其线性对偶方程，其解易于在方程中推测。 HARA实用程序的案例。通过计算和推论，我们获得了最优投资再保险策略的封闭式解决方案。此外，还将详细讨论一些特殊情况。最后，通过一些数值例子说明了我们的模型参数（例如，利率和波动性）对最优再保险投资策略的影响。我们选择HARA效用作为保险公司的风险偏好。由于原始Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程解的结构复杂，我们使用Legendre变换将原始非线性HJB方程更改为其线性对偶方程，其解易于在方程中推测。 HARA实用程序的案例。通过计算和推论，我们获得了最优投资再保险策略的封闭式解决方案。此外，还将详细讨论一些特殊情况。最后，通过一些数值例子说明了我们的模型参数（例如，利率和波动性）对最优再保险投资策略的影响。我们使用Legendre变换将原始的非线性HJB方程更改为其线性对偶方程，在HARA实用程序的情况下，其解很容易猜想。通过计算和推论，我们获得了最优投资再保险策略的封闭式解决方案。此外，还将详细讨论一些特殊情况。最后，通过一些数值例子说明了我们的模型参数（例如，利率和波动性）对最优再保险投资策略的影响。我们使用Legendre变换将原始的非线性HJB方程更改为其线性对偶方程，在HARA实用程序的情况下，其解很容易猜想。通过计算和推论，我们获得了最优投资再保险策略的封闭式解决方案。此外，还将详细讨论一些特殊情况。最后，通过一些数值例子说明了我们的模型参数（例如，利率和波动性）对最优再保险投资策略的影响。