This paper investigates some nonlinear dynamical behaviors about domains of attraction, bifurcations, and chaos in an axially accelerating viscoelastic beam under a time-dependent tension and a time-dependent speed. The axial speed and the axial tension are coupled to each other on the basis of a harmonic variation over constant initial values. The transverse motion of the moving beam is governed by nonlinear integro-partial-differential equations with the rheological model of the Kelvin–Voigt energy dissipation mechanism, in which the material derivative is applied to the viscoelastic constitutive relation. The fourth-order Galerkin truncation is employed to transform the governing equation to a set of nonlinear ordinary differential equations. The nonlinear phenomena of the system are numerically determined by applying the fourth-order Runge–Kutta algorithm. The tristable and bistable domains of attraction on the stable steady state solution with a three-to-one internal resonance are analyzed emphatically by means of the fourth-order Galerkin truncation and the differential quadrature method, respectively. The system parameters on the bifurcation diagrams and the maximum Lyapunov exponent diagram are demonstrated by some numerical results of the displacement and speed of the moving beam. Furthermore, chaotic motion is identified in the forms of time histories, phase-plane portraits, fast Fourier transforms, and Poincaré sections.

中文翻译：

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具有速度相关张力和张力相关速度的轴向移动梁的非线性现象

本文研究了在时间相关张力和时间相关速度下，轴向加速粘弹性梁中吸引力、分岔和混沌域的一些非线性动力学行为。轴向速度和轴向张力在恒定初始值上的谐波变化的基础上相互耦合。移动梁的横向运动由非线性积分偏微分方程和开尔文-福伊特能量耗散机制的流变模型控制，其中材料导数应用于粘弹性本构关系。采用四阶 Galerkin 截断将控制方程转换为一组非线性常微分方程。系统的非线性现象是通过应用四阶龙格-库塔算法数值确定的。分别采用四阶Galerkin截断法和微分求积法，重点分析了具有三比一内共振的稳定稳态解上的三稳态和双稳态引力域。分岔图和最大李雅普诺夫指数图上的系统参数由动梁位移和速度的一些数值结果证明。此外，混沌运动以时间历史、相平面图​​、快速傅里叶变换和庞加莱截面的形式被识别。分别采用四阶Galerkin截断法和微分求积法，重点分析了具有三比一内共振的稳定稳态解上的三稳态和双稳态引力域。分岔图和最大李雅普诺夫指数图上的系统参数由动梁位移和速度的一些数值结果证明。此外，混沌运动以时间历史、相平面图​​、快速傅里叶变换和庞加莱截面的形式被识别。分别采用四阶Galerkin截断法和微分求积法，重点分析了具有三比一内共振的稳定稳态解上的三稳态和双稳态引力域。分岔图和最大李雅普诺夫指数图上的系统参数由动梁位移和速度的一些数值结果证明。此外，混沌运动以时间历史、相平面图​​、快速傅里叶变换和庞加莱截面的形式被识别。分岔图和最大李雅普诺夫指数图上的系统参数由动梁位移和速度的一些数值结果证明。此外，混沌运动以时间历史、相平面图​​、快速傅里叶变换和庞加莱截面的形式被识别。分岔图和最大李雅普诺夫指数图上的系统参数由动梁位移和速度的一些数值结果证明。此外，混沌运动以时间历史、相平面图​​、快速傅里叶变换和庞加莱截面的形式被识别。