Let R be a prime ring of characteristic different from 2 with extended centroid C, \(n\ge 1\) a fixed positive integer, \(F, G:R\rightarrow R\) two non-zero generalized skew derivations of R.

1. (I)

   If \(\biggl (F(x)x\biggr )^n\in C\) for all \(x\in R\), then the following hold:

   1. (a)

      if F is an inner generalized skew derivation, then either \(R\subseteq M_2(C)\) or R is commutative;

   2. (b)

      if F is not an inner generalized skew derivation, then R is commutative.

2. (II)

   If \([F(x)x,G(y)y]_n=0\) for all \(x,y\in R\), then R is commutative unless when \(char(R)=p > 0\), G is an inner generalized skew derivation and \(R\subseteq M_2(C)\).

设R为质数为2的质环，质心为C，\（n \ ge 1 \）为固定的正整数，（F，G：R \ rightarrow R \）为R的两个非零广义偏导数。

1. （一世）

   如果对于所有\（x \ in R \）为\（\ biggl（F（x）x \ biggr）^ n \ in C \），则以下条件成立：

   1. （一个）

      如果F是内部广义偏导数，则\（R \ subseteq M_2（C）\）或R是可交换的；

   2. （b）

      如果F不是内部广义偏导数，则R是可交换的。

2. （二）

   如果\（[F（x）的X，G（y）的Y] _n = 0 \）对于所有\（X，Y \中的R \） ，然后- [R是可交换的，除非当\（炭（R）= P> 0 \），G是内部广义偏导数和\（R \ subseteq M_2（C）\）。