In this paper, we present a detailed description of the binomial theorem and obtain some new classes of combinatorial identities. As an application, we discuss a class of permutation binomials over finite fields \({\mathbb {F}}_q\), which is of the form \(x^{\mu +\nu }+2x^{\mu }\), where \(q\equiv 1\pmod {3}\) and \((\nu , q-1)=\frac{q-1}{3}\).

中文翻译：

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二项式定理的详细描述及其在有限域上置换二项式的应用

在本文中，我们对二项式定理进行了详细描述，并获得了一些新的组合恒等式。作为应用，我们讨论了有限域\（{\ mathbb {F}} _ q \）上的一类置换二项式，其形式为\（x ^ {\ mu + \ nu} + 2x ^ {\ mu} \），其中\（q \ equiv 1 \ pmod {3} \）和\（（\ nu，q-1）= \ frac {q-1} {3} \）。