Given an arbitrary function in $\boldsymbol{H}({\operatorname{div}})$, we show that the error attained by the global-best approximation by $\boldsymbol{H}({\operatorname{div}})$-conforming piecewise polynomial Raviart–Thomas–Nédélec elements under additional constraints on the divergence and normal flux on the boundary is, up to a generic constant, equivalent to the sum of independent local-best approximation errors over individual mesh elements, without constraints on the divergence or normal fluxes. The generic constant only depends on the shape-regularity of the underlying simplicial mesh, the space dimension, and the polynomial degree of the approximations. The analysis also gives rise to a stable, local, commuting projector in $\boldsymbol{H}({\operatorname{div}})$, delivering an approximation error that is equivalent to the local-best approximation. We next present a variant of the equivalence result, where robustness of the constant with respect to the polynomial degree is attained for unbalanced approximations. These two results together further enable us to derive rates of convergence of global-best approximations that are fully optimal in both the mesh size $h$ and the polynomial degree $p$, for vector fields that only feature elementwise the minimal necessary Sobolev regularity. We finally show how to apply our findings to derive optimal a priori $hp$-error estimates for mixed and least-squares finite element methods applied to a model diffusion problem.

中文翻译：

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局部和全局最佳近似值的等效性，简单稳定的局部通勤投影仪，以及 H (div) 中的最佳 hp 近似估计

给定 $\boldsymbol{H}({\operatorname{div}})$ 中的任意函数，我们证明了 $\boldsymbol{H}({\operatorname{div}}) 的全局最佳近似所获得的误差$-符合分段多项式 Raviart–Thomas–Nédélec 元素在边界上的散度和法向通量的附加约束下，直到一个通用常数，等效于单个网格元素上的独立局部最佳近似误差的总和，没有约束发散或正常通量。通用常数仅取决于基础单纯网格的形状规则性、空间维度和近似的多项式次数。该分析还在 $\boldsymbol{H}({\operatorname{div}})$ 中产生了一个稳定的本地通勤投影仪，提供与局部最佳近似等效的近似误差。我们接下来提出等价结果的一个变体，其中常数相对于多项式次数的鲁棒性对于不平衡的近似值是可以实现的。这两个结果一起进一步使我们能够推导出在网格大小 $h$ 和多项式次数 $p$ 中完全最优的全局最佳逼近的收敛速度，对于仅以元素为特征的最小必要 Sobolev 规则的向量场。我们最后展示了如何应用我们的发现来推导出应用于模型扩散问题的混合和最小二乘有限元方法的最优先验 $hp$-error 估计。其中，对于不平衡近似，获得了常数相对于多项式次数的鲁棒性。这两个结果一起进一步使我们能够推导出在网格大小 $h$ 和多项式次数 $p$ 中完全最优的全局最佳逼近的收敛速度，对于仅以元素为特征的最小必要 Sobolev 规则的向量场。我们最后展示了如何应用我们的发现来推导出应用于模型扩散问题的混合和最小二乘有限元方法的最优先验 $hp$-error 估计。其中，对于不平衡近似，获得了常数相对于多项式次数的鲁棒性。这两个结果一起进一步使我们能够推导出在网格大小 $h$ 和多项式次数 $p$ 中完全最优的全局最佳逼近的收敛速度，对于仅以元素为特征的最小必要 Sobolev 规则的向量场。我们最后展示了如何应用我们的发现来推导出应用于模型扩散问题的混合和最小二乘有限元方法的最优先验 $hp$-error 估计。对于仅以元素为特征的最小必要 Sobolev 规则的向量场。我们最后展示了如何应用我们的发现来推导出应用于模型扩散问题的混合和最小二乘有限元方法的最优先验 $hp$-error 估计。对于仅以元素为特征的最小必要 Sobolev 规则的向量场。我们最后展示了如何应用我们的发现来推导出应用于模型扩散问题的混合和最小二乘有限元方法的最优先验 $hp$-error 估计。