In recent papers (see e.g. Ruas (2020a) and Ruas (2020b)) a nonparametric technique of the Petrov–Galerkin type was analyzed, whose aim is the accuracy enhancement of higher order finite element methods to solve boundary value problems with Dirichlet conditions, posed in smooth curved domains. In contrast to parametric elements, it employs straight-edged triangular or tetrahedral meshes fitting the domain. In order to attain best-possible orders greater than one, piecewise polynomial trial-functions are employed, which interpolate the Dirichlet conditions at points of the true boundary. The test-functions in turn are defined upon the standard degrees of freedom associated with the underlying method for polytopic domains. As a consequence, when the problem at hand is self-adjoint a non symmetric linear system has to be solved. This paper is primarily aimed at showing that in this case, an efficient symmetrization of the solution procedure can be achieved by means of a fast converging iterative method. In order to illustrate the great generality of our nonparametric approach, experimentation is presented with a finite element method having degrees of freedom other than nodal values. More specifically we consider a nonconforming quadratic element in the solution of the three-dimensional Poisson equation. The performance evaluation however is conducted as well for two versions of the classical conforming quadratic method, namely, the nonparametric Petrov–Galerkin formulation considered in Ruas (2020b) and the standard isoparametric one. The study of this symmetrization is completed by an optimal error estimation in the broken $H^1$-norm for the nonparametric version of the nonconforming method, which had not been addressed in previous work.

在最近的论文中（参见例如Ruas（2020a）和Ruas（2020b）），分析了Petrov–Galerkin类型的非参数技术，其目的是提高高阶有限元方法的精度，以解决Dirichlet条件下的边值问题。在光滑的弯曲区域。与参数元素相反，它使用适合该域的直边三角形或四面体网格。为了获得大于1的最佳可能阶数，采用了分段多项式试验函数，该函数在真实边界的点处插值Dirichlet条件。测试功能又根据与多主题域的基础方法相关的标准自由度定义。结果，当眼前的问题是自伴问题时，就必须解决一个非对称线性系统。本文的主要目的是表明在这种情况下，可以通过快速收敛的迭代方法来实现求解过程的有效对称。为了说明我们的非参数方法的巨大通用性，我们使用具有除节点值以外的自由度的有限元方法进行了实验。更具体地说，我们在三维泊松方程的解中考虑了一个非协调二次元。然而，对经典一致性二次法的两种版本也进行了性能评估，即Ruas（2020b）中考虑的非参数Petrov-Galerkin公式和标准等参方法。这种对称性的研究是通过对断点的最佳误差估计来完成的 可以通过快速收敛的迭代方法来实现求解过程的高效对称。为了说明我们的非参数方法的巨大通用性，我们使用具有除节点值以外的自由度的有限元方法进行了实验。更具体地说，我们在三维泊松方程的解中考虑了一个非协调二次元。然而，对经典一致性二次法的两种版本也进行了性能评估，即Ruas（2020b）中考虑的非参数Petrov-Galerkin公式和标准等参方法。这种对称性的研究是通过对断点的最佳误差估计来完成的 可以通过快速收敛的迭代方法来实现求解过程的高效对称。为了说明我们的非参数方法的巨大通用性，我们使用具有除节点值以外的自由度的有限元方法进行了实验。更具体地说，我们在三维泊松方程的解中考虑了一个非协调二次元。然而，对经典一致性二次法的两种版本也进行了性能评估，即Ruas（2020b）中考虑的非参数Petrov-Galerkin公式和标准等参方法。这种对称性的研究是通过对断点的最佳误差估计来完成的 为了说明我们的非参数方法的巨大通用性，我们使用具有除节点值以外的自由度的有限元方法进行了实验。更具体地说，我们在三维泊松方程的解中考虑了一个非协调二次元。然而，对经典一致性二次法的两种版本也进行了性能评估，即Ruas（2020b）中考虑的非参数Petrov-Galerkin公式和标准等参方法。这种对称性的研究是通过对断点的最佳误差估计来完成的 为了说明我们的非参数方法的巨大通用性，我们使用具有除节点值以外的自由度的有限元方法进行了实验。更具体地说，我们在三维泊松方程的解中考虑了一个非协调二次元。然而，对经典一致性二次法的两种版本也进行了性能评估，即Ruas（2020b）中考虑的非参数Petrov-Galerkin公式和标准等参方法。这种对称性的研究是通过对断点的最佳误差估计来完成的 更具体地说，我们在三维泊松方程的解中考虑了一个非协调二次元。然而，对经典一致性二次法的两种版本也进行了性能评估，即Ruas（2020b）中考虑的非参数Petrov-Galerkin公式和标准等参方法。这种对称性的研究是通过对断点的最佳误差估计来完成的 更具体地说，我们在三维泊松方程的解中考虑了一个非协调二次元。然而，对经典一致性二次法的两种版本也进行了性能评估，即Ruas（2020b）中考虑的非参数Petrov-Galerkin公式和标准等参方法。这种对称性的研究是通过对断点的最佳误差估计来完成的$H^{\mathrm{1个}}$-规范不合格方法的非参数版本，以前的工作中未解决。