SIAM Journal on Mathematical Analysis, Volume 53, Issue 2, Page 1434-1473, January 2021.
This paper is concerned with the time-asymptotic behavior of strong solutions to the initial-boundary value problem of the isothermal compressible fluid models of Korteweg type with density-dependent viscosity and capillarity on the half-line $\mathbb{R}^+$. The case when the pressure $p(v)=v^{-\gamma}$, the viscosity $\mu(v)=\tilde{\mu} v^{-\alpha}$, and the capillarity $\kappa(v)=\tilde{\kappa} v^{-\beta}$ for the specific volume $v(t,x)>0$ is considered, where $\alpha,\beta, \gamma\in\mathbb{R}$ are parameters, and $\tilde{\mu},\tilde{\kappa}$ are given positive constants. We focus on the impermeable wall problem where the velocity $u(t,x)$ on the boundary $x=0$ is zero. If $\alpha,\beta$, and $\gamma$ satisfy some conditions and the initial data have the constant states $(v_+, u_+)$ at infinity with $v_+, u_+>0$, and have no vacuum and mass concentrations, we prove that the one-dimensional compressible Navier--Stokes--Korteweg system admits a unique global strong solution without vacuum, which tends to the 2-rarefaction wave as time goes to infinity. Here both the initial perturbation and the strength of the rarefaction wave can be arbitrarily large. As a special case of the parameters $\alpha,\beta$ and the constants $\tilde{\mu},\tilde{\kappa}$, the large-time behavior of large solutions to the compressible quantum Navier--Stokes system is also obtained for the first time. Our analysis is based on a new approach to deduce the uniform-in-time positive lower and upper bounds on the specific volume and a subtle large-time stability analysis.

中文翻译：

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具有密度依赖的粘度和毛细作用的Korteweg型可压缩流体模型的不可渗透壁问题的解的渐近行为

SIAM数学分析杂志，第53卷，第2期，第1434-1473页，2021年1月。
本文关注的是半线性$ \ mathbb {R} ^ + $上Korteweg型等温可压缩流体模型的初边值问题的强解的时间渐近行为，该模型具有密度依赖的粘度和毛细作用。 。当压力$ p（v）= v ^ {-\ gamma} $，粘度$ \ mu（v）= \ tilde {\ mu} v ^ {-\ alpha} $和毛细管现象$ \ kappa时的情况（v）= \ tilde {\ kappa} v ^ {-\ beta} $对于特定体积$ v（t，x）> 0 $，其中$ \ alpha，\ beta，\ gamma \ in \ mathbb { R} $是参数，而$ \ tilde {\ mu}，\ tilde {\ kappa} $被赋予正常数。我们关注边界$ x = 0 $上的速度$ u（t，x）$为零的不渗透墙问题。如果$ \ alpha，\ beta $和$ \ gamma $满足某些条件，并且初始数据在$ v _ +，u _ +> 0 $处具有无穷大的常量状态$（v_ +，u _ +）$，并且没有真空和质量集中，我们证明了一维可压缩Navier-Stokes-Korteweg系统接受了无真空的独特全局强解，随着时间的推移，它趋向于2次反射波。在此，初始扰动和稀疏波的强度都可以任意大。作为参数$ \ alpha，\ beta $和常数$ \ tilde {\ mu}，\ tilde {\ kappa} $的特例，可压缩量子Navier-Stokes系统的大解的长时间行为也是第一次获得。我们的分析基于一种新方法，可以推断出比体积上的时间上一致的正上下边界，并进行了细微的长时间稳定性分析。我们证明了一维可压缩的Navier-Stokes-Korteweg系统接受了无真空的独特全局强解，随着时间的增长，它趋向于2次反射波。在此，初始扰动和稀疏波的强度都可以任意大。作为参数$ \ alpha，\ beta $和常数$ \ tilde {\ mu}，\ tilde {\ kappa} $的特例，可压缩量子Navier-Stokes系统的大解的长时间行为也是第一次获得。我们的分析基于一种新方法，可以推断出比体积上的时间上一致的正上下边界，并进行了细微的长时间稳定性分析。我们证明了一维可压缩的Navier-Stokes-Korteweg系统接受了无真空的独特全局强解，随着时间的增长，它趋向于2次反射波。在此，初始扰动和稀疏波的强度都可以任意大。作为参数$ \ alpha，\ beta $和常数$ \ tilde {\ mu}，\ tilde {\ kappa} $的特例，可压缩量子Navier-Stokes系统的大解的长时间行为也是第一次获得。我们的分析基于一种新方法，可以推断出比体积上的时间上一致的正上下边界，并进行了细微的长时间稳定性分析。在此，初始扰动和稀疏波的强度都可以任意大。作为参数$ \ alpha，\ beta $和常数$ \ tilde {\ mu}，\ tilde {\ kappa} $的特例，可压缩量子Navier-Stokes系统的大解的长时间行为也是第一次获得。我们的分析基于一种新方法，可以推断出比体积上的时间上一致的正上下边界，并进行了细微的长时间稳定性分析。在此，初始扰动和稀疏波的强度都可以任意大。作为参数$ \ alpha，\ beta $和常数$ \ tilde {\ mu}，\ tilde {\ kappa} $的特例，可压缩量子Navier-Stokes系统的大解的长时间行为也是第一次获得。我们的分析基于一种新方法，可以推断出比体积上的时间上一致的正上下边界，并进行了细微的长时间稳定性分析。